PHYSIK → Klasse 11 & 12 → Kondensator

Einstieg

In diesem Kapitel wollen wir die Eigenschaften von Kondensatoren am Beispiel des Touchscreens genauer untersuchen.

1. In einem sogenannten Kapazitiven Touchscreen werden Kondensatoren verwendet, um die Position eines Fingers auf dem Touchscreen zu lokalisieren. Im Folgenden wollen wir herausfinden, welches Phänomen grundlegend hinter so einem Touchscreen steckt.
2. Wir wissen bereits aus dem vorherigen Kapitel:
   Befindet sich ein Teilchen mit der Ladung \(q\) im E-Feld eines Plattenkondensators, so wirkt auf das Teilchen die konstante Kraft: \[F_{el}=E\cdot q\] Das Feld verrichtet dabei Arbeit an dem Teilchen, sodass dieses an kinetischer Energie dazugewinnt. Wird das Teilchen durch \(F_{el}\) um die Strecke \(\Delta s\) verschoben, so verrichtet das Feld die Arbeit \[\Delta W=F_{el}\cdot \Delta s=qE\Delta s\] Die dabei vom Teilchen hinzugewonnene Energie \(\Delta W\) pro Ladung \(q\) heißt elektrische Spannung bezüglich des Anfangs \(A\) und Endpunktes \(B\) der Verschiebung \(\Delta s\): \[U_{AB}=\frac{\Delta W}{q}=\frac{qE\Delta s}{q}=E\Delta s.\] Hat ein Plattenkondensator den Plattenabstand \(d\), so beträgt die Spannung für die Verschiebung von einer Platte zur anderen Platte \[U=Ed.\] Man sagt, dass am Plattenkondensator die Spannung \(U\) anliegt.
   Eine Batterie mit einer Spannung von 4V meint, dass bei der Verschiebung einer elektrischen Ladung von 1 C durch die Kabel vom einem Pol zum anderen Pol der Batterie (hervorgerufen durch das von der Batterie erzeugte elektrische Feld) die Ladung insgesamt eine Energie von 4 J aus dem elektrischen Feld erhält.
   1. Fasse zunächst die wesentlichen Inhalte des Textes stichpunktartig zusammen. Notiere dir die relevanten Formeln.
   2. Berechne die Energie, die aufzuwendende Arbeit um eine Ladung von 7.3 nC im Feld eines Plattenkondensators mit einer Spannung von 4.5 kV von einer Platte zur anderen zu bewegen.
   3. Berechne die elektrische Feldstärke eines Plattenkondensators mit einer Spannung von 9.8 kV und einem Plattenabstand von 12 cm.
   4. Schwere aber ziemlich coole Aufgabe: Zeige mithilfe der obigen Formel, der Newtonschen Bewegungsgleichung und der Voraussetzung das \(F_{el}\) konnstant ist, dass die gesamte am Objekt verrichtete Arbeit in kinetische Energie des Teilchens umgewandelt wird.
   5. Bestimme die kinetische Energie und die Geschwindigkeit eines Elektrons nach Durchlaufen des E-Feldes eines Plattenkondensators mit anliegender Spannung \(U=6.5 kV\) und Plattenabstand \(d=8cm\). Das Ergebnis ist physikalisch unlogisch!
   Anmerkung : Die Spannung ist meist unabhängig vom genauen Weg den die Ladung innerhalb des Elektrischenfeldes zurücklegt. Entscheidend ist nur der Anfangspunkt und Endpunkt.
Elektrisches Feld eines Kondesnators

Für die elektrische Feldstärke eines Plattenkondensators gilt: \[E=\frac{U}{d}\] Wobei \(U\) die am Kondensator anliegende Spannung ist und \(d\) der Abstand der Platten ist.

Elektronenvolt

Unter einem Elektronenvolt 1 eV versteht man die Energie, welche ein Elektron erhält, wenn es in einem E-Feld eine Spannung von 1V durchläuft: \[1eV=1.602\cdot 10^{-19}J\]

3. Kondensatoren als Energiespeicher
   Baue den folgenden Stromkreis auf:
   
   
   Führe den Versuch zunächst mit dem Kondensator mit der Angabe \(470\mu F\) durch. Positioniere den Schalter in der Stellung 1. Schalte nun das Netzgerät ein (12 V). Nach einigen Sekunden soll der Schalter auf die Stellung 2 umgeschaltet werden. Wiederhole den Vorgang mit dem Kondensator mit der Angabe \(100\mu F\).
   1. Beschreibe deine Beobachtungen.
   2. Begründe: "Ein Kondensator kann als Energiespeicher fungieren."
   3. Überlege dir welche Vorgänge auf mikroskopischer Ebene im Kondensator beim Laden und Entladen stattfinden.
      Fachbegriffe: Kondensator, elektrisches Feld, Spannungsquelle, negative & positive Ladung, Vakuum, Ladungskonstellation, Felstärke, Gleichgewicht, Ladungsausgleich, leitend
   4. Worin könnten sich die beiden Kondensatoren unterscheiden?
4. Kapazität eines Plattenkondensators
   In einem Experiment wird folgender Stromkreis aufgebaut:
   
   
   In einer erste Durchführung soll zunächst der Zusammenhang zwischen der Ladung auf dem Plattenkondensator und anliegender Spannung untersucht werden. Dafür wird der Plattenkondensator (\(d=0.6 cm\)) zunächst mit 50 V (100 V, ...,300 V) aufgeladen. Der Schalter ist dafür in Schalterposition 1. Anschließend wird durch umlegen des Schalters die Ladung mittels eines Messverstärkers gemessen. Folgende Messwerte konnten aufgenommen werden: \[\begin{array}{|c|c|} \hline U\; (V)& q\; (nC)\\ \hline 50& 4.4\\ \hline 100& 9.0\\ \hline 150& 13.6\\ \hline 200& 18.5\\ \hline 250& 23.1\\ \hline 300& 28.0\\ \hline \end{array} \]
   1. Trage \(q\) gegenüber \(U\) in einem Koordinatensystem auf.
   2. Zeige, dass \(q\sim U\) gilt, bestimme die Proportionalitätskonstante und stelle den Zusammenhang auf. Die Proportionalitätskonstante wird Kapazität des Kondensators genannt.
   In einer zweiten Durchführung soll der Zusammenhang zwischen der Ladung auf dem Plattenkondensator und dem Plattenabstand bei konstanter Spannung untersucht werden. Dafür wird der Plattenkondensator mit dem Plattenabstand 2 mm (4 mm, ...,12 mm) bei konstanter Spannung (100 V) aufgeladen. Der Schalter ist dafür in Schalterposition 1. Anschließend wird durch umlegen des Schalters die Ladung mittels eines Messverstärkers gemessen. Folgende Messwerte konnten aufgenommen werden: \[\begin{array}{|c|c|} \hline d\; (mm)& q\; (nC)\\ \hline 2& 24.0\\ \hline 4& 12.7\\ \hline 6& 9.2\\ \hline 8& 7.0\\ \hline 10& 6.0\\ \hline 12& 5.1\\ \hline \end{array} \]
   1. Berechne zunächst für jeden Plattenabstand die Kapazität \(C\) des Kondensators. Trage anschließend \(C\) gegenüber \(d\) in einem Koordinatensystem auf.
   2. Zeige, dass \(C\sim \frac{1}{d}\) gilt, bestimme die Proportionalitätskonstante und stelle den Zusammenhang auf.
   3. Für den Plattenkondensator gilt \[C=\epsilon_0\epsilon_r\frac{A}{d},\] wobei \(A\) der Flächeninhalt einer Kondensatorplatte ist, \(\epsilon_0\) die elektrische Feldkonstante und \(\epsilon_0\) die stoffabhängige Permittivitätszahl ist.
      In unserem Fall kann \(\epsilon_r\approx 1\) gesetzt werden. Die Platten des Kondensators haben einen Durchmesser von 256 mm. Bestimme mithilfe der Proportionaitätskonstante aus der vorangegangenen Teilaufgabe die elektrische Feldkonstante \(\epsilon_0\).
   4. Recherchiere im Internet, wofür die Permittivitätszahl benötigt wird.
Kapazität eines Kondensators

Für die Kapazität \(C\) eines Kondensators gilt: \[C=\frac{Q}{U}\] Sie gibt also an, wie viel Ladung pro Spannung in einem Kondensator gespeichert werden kann. \[\left[C\right]=1\frac{C}{V}=1F\;(Farad)\] Darüber hinaus gilt für die Kapazität eines Plattenkondensators zusätzlich \[C=\epsilon_0\epsilon_R\frac{A}{d},\] wobei \[\epsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}\frac{\rm{As}}{\rm{Vm}}\] die elektrische Feldkonstante, \(\epsilon_0\) die stoffabhängige Perimittivitätszahl, \(d\) der Plattenabstand und \(A\) der Flächeninhalt der Platten ist.
Anmerkung: Die Perimittivitätszahl ist eine dimensionslose Größe und charactierisiert die Eigenschaften des Materials zwischen den Kondensatorplatten, da dieses häufig durch Wechselwirkungen das elektrische Feld des Kondensators beeinflusst. Im Vakuum ist \(\epsilon_r=1\) und in Luft \(\epsilon_r\approx 1.00059\).

5. Auf- und Entladevorgang eines Kondensators
   Baue die folgende Schaltung auf. Solltest du Schwierigkeiten beim Aufbau haben, kannst du dir hier den realen Aufbau anschauen.
   
   
   Stelle am Amperemeter den Messbereich auf 10 mA und die Messnadel auf Mittelstellung. Stelle den Schalter auf Stellung 2, sodass das Netzgerät nicht mit dem Kondensator verbunden ist. Schalte nun das Netzgerät ein und stelle die Spannung auf 12 V ein. Lege den Schalter auf Position 1 um. Der Aufladevorgang des Kondensators soll am Amperemeter mitgefilmt werden.
   Durch Umlegen des Schalters auf Position 2 entläd sich der Kondensator, dieser Vorgang soll ebenfalls am Amperemeter mitgefilmt werden.
   1. Übertrage die Messwerte aus dem Videomaterial für den Auflade- und Entladevorgang in je eine Tabelle. Wähle dafür je sechs zeitlich äquidistante Messpunkte. Der erste Messpunkt soll dabei direkt nach dem Umlegen des Schalters liegen und \(t=0s\) zugeordnet werden: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline t\; (s)& I(t)\; (A)& \ln(|I(t)|)\\ \hline 0& ?\\ \hline \vdots& \vdots\\ \end{array} \]
   2. Trage die Messwerte in einem \(t-I(t)\)-Diagramm auf. Lässt sich ein Zusammenhang erkennen?
   3. Beschreibe den Verlauf.
   4. Für den Aufladevorgang gilt folgende Formel: \[I(t)=\frac{-U_0}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}\] Bestätige die Formel anhand deiner Messwerte. Besonders elegant kann der Zusammenhang durch eine halblogarithmische Darstellung der Messwerte bestätigt werden. Trage dafür \(\ln(|I(t)|)\) gegenüber \(t\) in einem Koordinatensystem auf. Ziehe durch die Punkte eine Ausgleichsgerade und bestimme dessen steigung zeichnerisch. Die Steigung \(m\) sollte dann ungefähr \[m=-\frac{1}{RC}\] ergeben und der \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) \[b=\ln(\frac{U_0}{R}).\]
Auf- und Entladevorgang eines Kondensators

Für den Aufladevorgang eines Kondensators mit der Kapazität \(C\) mit vorausgeschalteten Widerstand \(R\) mithilfe der Spannung \(U_0\) gilt \[I(t)=-\frac{U_0}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}\] und für den Entladevorgang \[I(t)=\frac{U_0}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}.\]

Aufgaben

1. Beschreibe anhand der Formel für die Stromstärke beim Auf- und Entladen eines Kondensators den einfluss von \(R\) und \(C\) auf diese Prozesse.
2. Recherchiere (im Internet) die verwendung von Kondensatoren beim Fotoblitz und einem Defibrillator.
3. Funktionsweise eines Touchscreens
   Ein Touchscreen besteht aus zwei leitfähigen übereinandergelegten Gittern, welche durch eine isolierende Schicht von einander getrennt sind. Die Punkte, an denen sich die Gitter kreuzen bilden kleine Kondensatoren. An der unteren Schicht wird für jeden dieser Kondensatoren die Kapazität gemessen. Berührt ein Finger die obere Schicht an einem dieser Kondensatoren, so verändert sich durch die Leitfähigkeit des Fingers das elektrische Feld im Kondensator. Dies kann man als Änderung der Permittivitätszahl des Kondensators interpretieren. Damit ändert sich allerdings auf die Kapazität des Kondensators. Durch die Änderung der Kapazität lässt sich die position des Fingers auf dem Display lokalisieren.