PHYSIK → Klasse 11 & 12 → Gedämpfte & erzwungene Schwingungen

Einstieg

1. Das Fadenpendel geht baden
   Zwei identische Fadenpendel werden zum Schwingen gebracht. Das zweite Pendel führt jedoch die Pendelbewegung Unterwasser aus. Mithilfe eines Sensors wird die momentane Auslenkung (als Winkel) in Abhängigkeit von der Zeit gemessen.
   

   
   1. Stelle zunächst eine Vermutung auf, wie sich die Pendelbewegungen unterscheiden werden.
      Graphen

      

      

   2. Wodurch wird das veränderte Schwingverhalten hervorgerufen?
   3. Durch welche Funktion könnte die Amplitude der Schwingung \(\hat{\alpha}(t)\) beschrieben werden?
   4. Bestimme die Winkelfrequenz der beiden Schwingungen. Was fällt dir dabei auf?
Exponentialfunktion und Halbwertszeit

Häufig treten in der Physik Zusammenhänge auf, welche durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden: \[f(t)=ab^{t}\] Die Parameter können dabei wie folgt interpretiert werden:

1. \(a\) gibt den Startwert der Funktion für \(t=0\) an.
2. \(b\) ist der Vervielfachungsfaktor pro Zeiteinheit

Wir wollen uns hier nur auf den Spezialfall \\(0< b < 1\) konzentrieren: \[f(t)=ab^{t}\] Mithilfe geeigneter Messwerte können die Parameter dann wie folgt bestimmt werden:

1. Für den Parameter \(a\) gilt: \[f(0)=ab^0=a\] Man benötigt also lediglich den Funktionswert/Messwert für \(t=0\).
2. Für den Parameter \(b\) gilt:
   Bestimmt man die Zeit \(t_H\) nach der sich der Startfunktionswert \(a\) halbiert hat (Halbwertszeit), so gilt: \[\begin{eqnarray}f(t_H)&=&\frac{1}{2}f(0)\\ ab^{t_H}&=&\frac{1}{2}a\\ b^{t_H}&=&\frac{1}{2}\\ b&=&\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{t_H}}\\ \end{eqnarray}\]

Aufgabe:
Bestimme die zu folgendem exponentiellen Abfall passende Exponentialfunktion: \[\begin{array}{|c|c|} \hline t\text{ in s} & y(t)\text{ in m}\\ \hline 0& 15\\ \hline 1& 13.04\\ \hline 3& 9.86\\ \hline 5& 7.50\\ \hline 8& 4.89\\ \hline 9& 4.25\\ \hline 10& 3.70\\ \hline \end{array} \]

2. 1. Bestimme die Exponentialfunktion \(\hat{\alpha}(t)\), welche die Amplitude der gedämpften Schwingung in Einstiegsaufgabe 1 beschreibt. Bestimme dafür die Halbwertszeit \(t_H\) der Amplitude und die Startauslenkung \(\hat{\alpha}(0)\).
      Anmerkung: Diese Vorgehensweise ist nicht ganz so rigoros, da die Halbwertszeit eher erraten wird. Sie spart uns aber viel Zeit.
   2. Stelle einen Ausdruck für die Auslenkung der gedämpften Schwingung \(\alpha(t)\) auf.
      Hinweis: Da zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\) die Auslenkung maximal sein soll, muss die Schwingung durch eine Cosinusfunktion beschrieben werden!
   3. Du kannst als Übung auch die Funktion mithilfe der halblogarithmischen Darstellung bestimmen.

   Lösung:

   1. Die Anfangsauslenkung liegt bei \[y_0=7.7°.\] Die Halbwertszeit der Amplitude ist erreicht, sobald die Amplitude auf ca. 3.8° abgefallen ist. Wir können ungefähr ablesen, dass dies nach \[t_H=1.1 \rm{s}\] der Fall ist.
      Für den Dämpfungskoeffizienten folgt also: \[b=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{t_H}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{1.1}}=0.53\] Die Aplitude wird also durch folgende Funktion beschrieben: \[\hat{\alpha}(t)=7.7°0.53^{t}\]
   2. Zunächst können wir ablesen, dass die gedämpfte Winkelfrequenz ungefähr \[\omega_D=1.1\rm{\frac{1}{s}}\] Die Auslenkung der Schwingung wird nun durch die Funktion \[\alpha(t)=7.7°0.53^t\cos\left(1.1\rm{\frac{1}{s}}\cdot t\right)\] beschrieben.

Aufgaben

1. 1. Das Video zeigt den Einsturz der Tacoma-Brücke. Wodurch könntest du dir dieses Phänomen erklären?
2. Pohlsches Pendel mit äußerer Kraft
   Das Pohlsche Pendel wird mithilfe einer äußeren Kraft zum Schwingen angeregt. Die äußere Kraft beschreibt dabei ebenfalls eine Schwingungsbewegung.
   
   1. Beschreibe deine Beobachtungen. Beziehe dich dabei auf die Auslenkung der Schwingung und die Fequenz der äußeren Kraft.
   2. Fertige einen Graphen an, bei dem du die Amplitude der Schwingung gegenüber der Erreger-Frequenz aufträgst.
Wissen Teil 2

Wird eine Schwingung eines Pendels durch eine äußere periodische (sinusförmige) Kraft mit der Frequenz \(f\) erzwungen, so herrscht folgender Zusammenhang zwischen Erreger-Frequenz und Amplitude der Schwingung (Resonanzkurve):



Die Schwingung ist dabei meist immer etwas gedämpft und wird durch die äußere Kraft aufrecht erhalten. Die Frequenz bei der die Amplitude maximal wird heißt Resonanzfrequenz. Diesen Fall nennt man dann auch Resoanzfall. Im Resonanzfall lässt sich die Schwingung durch minimale Energiezufuhr aufrecht erhalten.
Je stärker die Dämpfung des Pendels, desto kleiner wird die Resonanzfrequenz. Ohne Dämpfung entspricht die Resonanzfrequenz der Eigenfrequenz des Pendels \(f_0\).
Die Eigenfrequenz eines Pendels ist dabei die Frequenz, mit welcher ein Pendelkörper nach einmaligem Auslenken ohne äußere Einflüsse schwingt.

3. In der StVO § 27 Verbände steht folgendes geschrieben:
   "(6) Auf Brücken darf nicht im Gleichschritt marschiert werden."
   1. Erkläre, warum dieser Paragraf wichtig ist.
4. Drei abschließende Experimente zu Schwingungen