Potentielle und kinetische Energie eines harmonischen Oszillators
Bereits bekannt ist, dass die potenitelle Energie eines Objektes in einem Kraftfeld gegeben ist durch die von dem Objekt verrichtete Arbeit entgegen der auf das Objekt wirkenden Kraft (siehe Kapitel zu Bahnformen in der Gravitationstheorie).
Beim harmonischen Oszillator ist diese Kraft durch das lineare Kraftgesetz gegeben:
\[F(t)=-ky(t)\]
Für die verrichtete Arbeit zum Zeitpunkt \(t\) gilt damit:
\[\begin{eqnarray}E_{pot}(t)&=& -\int_{y(0)}^{y(t)}F(t)dy'\\
&=& -\int_{y(0)}^{y(t)}(-ky'(t))dy'\\
&=& k\int_{y(0)}^{y(t)}y'(t)dy'\\
&=& \frac{1}{2}k\left[y^2(t)-y^2(0)\right]\end{eqnarray}\]
Setzen wir \(y(0)=0\), also startet das Pendel in der Ruhelage, so gilt insgesamt:
\[E_{pot}(t)=\frac{1}{2}ky^2(t)\]
bzw. mit \(k=\omega^2m\):
\[E_{pot}(t)=\frac{1}{2}m\omega^2y^2(t)\]
Für die kinetische Energie gilt:
\[E_{kin}=\frac{1}{2}m\dot{y}^2(t)\]
- Setze die Ortskurve des harmonischen Oszillators
\[y(t)=\hat{y}\sin (\omega t)\]
in die Energieterme ein und plotte die entstandenen Funktionen für \(\hat{y}=1\), \(m=1\) und \(\omega=1\).
- Beschreibe den Verlauf von potentieller und kinetischer Energie während einer Schwingung.
- Lies ungefähr die Periodendauer der Schwingung aus dem Plot ab.
- Argumentiere, dass bei dem harmonischen Oszillator die Energieerhaltung gilt.
- Stelle des Ausdruck für die Gesamtenergie des harmonischen Oszillators auf.
- Bestimme die Gesamtenergie des harmonisches Oszillators, indem du die maximale potentielle Energie bestimmst.
- Bonus: Zeige mithilfe des Einheitskreises und dem Satz von Pythagoras, dass folgendes Additionstheorem gilt:
\[\sin^2 (\omega t)+ \cos^2(\omega t)=1,\]
Zeige damit, dass für die Gesamtenergie des harmonischen Oszillators für alle Zeiten \(t\)
\[E_{ges}=\frac{1}{2}m\omega^2\hat{y}^2=const.\]
gilt.
Lösung:
- Die kinetische Energie lautet:
\[E_{kin}=\frac{1}{2}m\omega^2\hat{y}^2\cos^2(\omega t)\]
Die potentielle Energie lautet:
\[E_{pot}=\frac{1}{2}m\omega^2\hat{y}^2\sin^2(\omega t)\]
- Zum Zeitpunkt \(t=0\) befindet sich der Oszillator in der Ruhelage. Hier ist die potentielle Energie 0 J und die kinetische Energie maximal. Anschließend wird kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt. Dabei wird der Oszialltor langsamer bis er zum ersten Umkehrpunkt kommt \(t\approx 1.6 s\). Hier beträgt die kinetische Energie 0 J und die potentielle Energie ist maximal. Anschließend bewegt sich der Oszillator zurück zur Ruhelage und darauf zum zweiten Umkehrpunkt. Die kinetische Energie wird also wieder maximal und fällt am zweiten Umkehrpunkt wieder auf 0 J ab. Analog wird die potentielle Energie zum Ruhepunkt hin wieder vollständig in kinetische Energie umgewandelt.
- Die Periodendauer der Schwingung beträgt:
\[T\approx 6.3 \rm{s}\]
- Die potentielle Energie ist zu der kinetischen Energie immer um eine viertel Periodendauer zeitlich nach hinten verschoben, besitzt aber den selben Verlauf. An den Stellen, wo die kinetische Energie abnimmt, scheint die potentielle Energie um den selben Wert zuzunehmen. Wir können uns Vorstellen, dass die gesamte kinetische Energie in potentiell Energie umgewandelt wird und dabei weder etwas erzeugt noch verloren geht, womit die Gesamtenergie erhalten bleibt.
- Für die Gesamtenergie gilt:
\[E_{ges}=E_{kin}+E_{pot}=\frac{1}{2}m\dot{y}^2(t)+\frac{1}{2}m\omega^2y^2(t)\]
- Die potentielle Energie ist an den Umkehrpunkten, also in der Phase
\[\phi(t_{Umkehr})=\frac{\pi}{2}\]
maximal. Dort nimmt entsprechend der Sinus den Wert 1 an. Damit folgt:
\[E_{ges}=E_{pot}(t_{Umkehr})=\frac{1}{2}m\omega^2\hat{y}^2\sin^2(\omega t_{Umkehr})=\frac{1}{2}m\omega^2\hat{y}^2\sin^2(\frac{\pi}{2})=\frac{1}{2}m\omega^2\hat{y}^2\]
-
Am Einheitskreis \(r=1\) gilt mithilfe des Satzes von Pythagoras:
\[x^2+y^2=r^2=1\]
Wobei \(x\) die Ankathete und \(y\) die Gegenkathete des rechtwinkeligen Dreieckst, aufgespannt durch den zum Punkt \((x|y)\) assoziierten Winkel \(\phi\), ist.
Für Ankathete und Gegenkathete im Einheitskreis gilt weiterhin:
\[\sin(\phi)=y\cdot r=y\]
\[\cos(\phi)=x\cdot r=x\]
Damit folgt durch einsetzen in die obere Gleichung:
\[\cos(\phi)^2+\sin(\phi)^2=1\]
Mit dem Ausdruck für die Gesamtenergie aus Aufgabe 5 folgt nun:
\[\begin{eqnarray}E_{ges}&=&\frac{1}{2}m\dot{y}^2(t)+\frac{1}{2}m\omega^2y^2(t)\\
&=&\frac{1}{2}m\omega^2\hat{y}^2\left(\cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t)\right)\\
&=&\frac{1}{2}m\omega^2\hat{y}^2\end{eqnarray}\]
