PHYSIK → Klasse 11 & 12 → Bahnformen

Einstieg

1. Münzkatapult
   Material: 1x kleiner Zylinder (Stift), 1x Holzleiste, 2x identische Münze
   
   Vorbereitung: Der Aufbau soll wie in der Abbildung zu sehen vorbereitet werden.
   
   
   
   Durchführung: Drücke auf das markierte Ende der Holzleiste. Versuche die maximale Flughöhe der Münzen zu dokumentieren.
   
   Auswertung:
   1. Erkläre deine Beobachtungen mithilfe der Energieerhaltung.
2. Was verstehst du unter dem Begriff potentielle Energie?
Wiederholung: Potentielle Energie

Um einen Körper entgegen einer Kraft (im Kraftfeld) zu bewegen, muss dieser Arbeit verrichten (Energie aufwenden). Die aufgewendete Energie ist dann im Kraftfeld gespeichert. Wird der Kröper wieder an seinen Ursprungsort zurückverschoben, so kriegt er die zuvor aufgewendete Energie zurück und kann beispielsweise in kinetische Energie umgewandelt werden. Die im Feld gespeicherte Energie nennen wir potentielle Energie \(E_{pot}\) bezüglich des Ausgangsortes (Bezugspunkt).

Beispiele:

1. Im homogenen Gravitationsfeld ist die Kraft an jedem Ort gleich. Für die verrichtete Arbeit beim Verschieben eines Körpers aus der Höhe \(h_1\) nach \(h_2\) entgegen der Kraft \(|\vec{F}_G|\) gilt: \[\Delta E=|\vec{F}_G|\cdot (h_2-h_1)=E_{pot}\] Hierbei ist \(h_1\) die Bezugshöhe, da für \(h_2=h_1\) die potentielle Energie 0 ist.
   
2. Im rotationssymmetrischen Gravitationsfeld hängt die Kraft vom Abstand der Massen ab. Es muss also für jedes infinitesimale Wegstück separat die verrichtete Arbeit ausgerechnet und anschließend addiert werden. Dies ist durch Integration möglich (soll hier nicht weiter ausgeführt werden). Für die Arbeit von \(r_1\) nach \(r_2\) gilt: \[\Delta E=\int_{r_1}^{r_2}\vec{F}(\vec{r})d\vec{s}=\gamma \cdot m_1\cdot m_2\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)=E_{pot}\] Für gewöhnlich setzt man den Bezugspunkt \(r_1\) ins Unendliche, wodurch \[\lim_{r_1\rightarrow\infty}\frac{1}{r_1}\rightarrow 0\] wird und damit folgt für die potentielle Energie mit \(r\equiv r_2\): \[E_{pot}(r)=-\gamma \frac{m_1\cdot m_2}{r}\] Im Unendlichen ist also die potentielle Energie 0. Man kann die potentielle Energie hier so interpretieren, als die Energie, die das Gravitationsfeld an den Körper verliert, wenn dieser näher an das Feld erzeugende Masseobjekt herangeführt wird.
   
   Anmerkung: Die freie Wahl des Bezugspunktes ist aufgrund der Eichfreiheit der Kraftfelder erlaubt. Die potenielle Energie kann also immer um einen beliebigen Wert addiert werden, sofern dieses konsistent für alle Werte gemacht wird.

Allgemein gilt:
Ist \[E_{pot}(\vec{r}(t_1)) < E_{pot}(\vec{r}(t_2)) \] mit \(t_1 < t_2\), so hat das Feld Energie gewonnen, d.h. die potentielle Energie hat zugenommen. Ist \[E_{pot}(\vec{r}(t_1))>E_{pot}(\vec{r}(t_2))\] so hat das Feld Energie abgegeben, bzw. die potentielle Energie ist geringer geworden.

3. Wir betrachten einen Körper mit Geschwindigkeit \(v(t)\) und Masse \(m_1\) im Graviationsfeld einer Masse \(m_2\).
   1. Stelle den Ausdruck für die Gesamtenergie \(E_{ges}\) eines Körpers am Ort \(r(t)\) auf.
   2. Zeige, dass wenn sich der Körper auf einer Kreisbahn mit Radius \(R\) bewegt, für die kineitsche Energie \[E_{kin}=-\frac{1}{2}E_{pot}\] gilt. Nutze dafür die Zentripetalkraft.
   3. Zeige damit, dass für die Gesamtenergie auf einer Kreisbahn mit Radius \(R\) \[E_{ges}=-\frac{1}{2}\gamma \frac{m_1\cdot m_2}{R} \] gilt.

   Lösung:

   1. Die Gesamtenergie setzt sich aus kinetischer Energie und potentieller Energie des Körpers zusammen, also \[E_{ges}=E_{kin}+E_{pot}\] \[=\frac{1}{2}m_1v^2-\gamma \frac{m_1\cdot m_2}{r}\]
   2. Bei einer Planetenbeweung auf einer Kreisbahn entspricht die Zentripetalkraft der Gravitationskraft: \[F_Z=F_G\] \[m_1\frac{v^2}{R}=\gamma \frac{m_1}{m_2}{R^2}\] \[\Leftrightarrow v^2=\gamma\frac{m_2}{R}\] Einsetzen in die kinetische Energie liefert: \[E_{kin}=\frac{1}{2}m_1v^2=\frac{1}{2}m_1\gamma\frac{m_2}{R}=-\frac{1}{2}E_{pot}\]
   3. Setzen wir dieses Ergebnis in den Ausdruck für die Gesamtenergie ein, erhält man: \[E_{ges}=E_{kin}+E_{pot}=-\frac{1}{2}E_{pot}+E_{pot}=\frac{1}{2}E_{pot}\] \[=-\frac{1}{2}\gamma \frac{m_1\cdot m_2}{R}\]

4. Wir wissen, dass die potentielle Energie eines Körpers im Gravitationsfeld angibt, wie viel Energie er aufwenden muss, um dem Gravitationsfeld zu entfliehen, d.h. um nach \(r\rightarrow \infty\) zu kommen. Bewegt sich das Teilchen mit ausreichend hoher Geschwindigkeit, besitzt es auch ausreichend kinetische Energie um genau die benötige potentielle Energie aufzuwenden. Ermittle die benötigte Geschwindigkeit aus diesem Grenzfall \[E_{kin}=|E_{pot}|.\]

   Lösung:

   Sei \(r_0\) der Abstand des Körpers zum Zentralkörper und \(v_0\) die gesuchte Geschwindigkeit so gilt \[E_{kin}=|E_{pot}|\] \[\Rightarrow \frac{1}{2}m_1 v_0^2=\gamma \frac{m_1\cdot m_2}{r_0}\] \[\Leftrightarrow v_0=\sqrt{\frac{2\gamma \cdot m_2}{r_0}}\]

Aufgaben

1. Berechne die Geschwindigkeit die eine Rakete auf der Erdoberfläche benötigt um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen.
2. Berechne die Geschwindigkeit der Erde am sonnenfernsten Punkt.