PHYSIK → Klasse 11 & 12 → Gravitationsgesetz

Einstieg

1. Schwerelos
   Material: 1x Becher, 2x Gummibänder, 1x Büroklammer, 1x Faden, 2x Gewichtstücke, 1x Kelbeband
   
   Vorbereitung: Der Aufbau soll wie in der Abbildung zu sehen vorbereitet werden.
   
   
   
   Durchführung: Lasse den Becher aus ca. 2 - 3 m senkrecht nach unten fallen.
   
   Auswertung:
   1. Erkläre deine Beobachtungen von der Wirkung zur Ursache aus der SIcht eines mitbewegten Beobachters.
      Tipp: Im bewegten Bezugssystem wirken Scheinkräfte.
   2. Erkläre was Schwerlosigkeit bedeutet.
2. An welchen Orten tritt ebenfalls Schwerelosigkeit auf?
Wiederholung: Zentripetalkraft

Damit ein Körper aus einer gradlinig gleichförmigen Bewegung auf eine Kreisbahn gezwungen wird, muss auf ihn eine Kraft wirken. Diese Kraft nennen wir Zentripetalkraft \(\vec{F}_Z\). Ist die Geschwindigkeit \(v\) des Körpers entlang der Kreisbahn mit Radius \(r\) konstant, so gilt: \[|\vec{F}_Z|=m\frac{v^2}{r}\] Wobei der Körper zum Mittelpunkt der Kreisbahn die Beschleunigung \[a_Z=\frac{v^2}{r}\] erfährt.



Aufgrund der Trägheit des Körpers würde sich dieser ohne Wirken der Zentripetalkraft wieder gradlinig gleichförmig bewegen. Aus sicht des Körpers wirkt daher noch eine zweite Kraft auf ihn, die sogenannte Zentrifugalkraft. Auf der ISS macht sich diese Scheinkraft dadaurch bemerkbar, dass man dort Schwerelos ist.

3. Von der Erde mit der Masse \(m_E\) wirkt auf den Mond mit der Masse \(m_M\) eine Kraft so, dass sich der Mond auf einer Kreisbahn mit Radius \(r_{EM}\) (gemessen vom Erdmittelpunkt) um die Erde bewegt.
   1. Leite mithilfe des dritten Keplerschen Gesetzes folgenden Ausdruck her: \[|\vec{F}_{EM}|=m_M\cdot4\pi^2\cdot C_E\frac{1}{r_{EM}^2}\] wobei \(C_E\) die Konstante aus dem Keplergesetz ist, mit der Erde als Zentralkörper.
   2. Wir nehmen an, dass diese Kraft auf alle Körper von der Erde ausgeübt wird, unabhängig davon ob sie sich auf einer Kreisbahn bewegen. Auf beliebige Objekte mit Masse \(m\) im Abstand \(r\) wirkt daher die Kraft \[|\vec{F}_G|=m\cdot4\pi^2\cdot C_E\frac{1}{r^2}\] Bestimme die Konstante \(C_E\) mithilfe der Erdbeschleunigung \(g=9.81\frac{m}{s^2}\) für ein beliebiges Objekt im Abstand \(r_E=6.371\cdot 10^6m\) (Erdradius).
   3. Vergleich dein Ergebnis für \(C_E\) mit dem Litraturwert \(C_E=(1/9.83\cdot 10^{-14})\frac{m^3}{s^2}\).
   4. Aufgrund des Prinzips "Actio=Reactio" muss der Mond eine gleichgroße Kraft auf die Erde ausüben: \[|\vec{F}_{EM}|=|\vec{F}_{ME}|\] In diesem Fall kann auch der Mond als Zentralkörper betrachtet werden und es gilt: \[|\vec{F}_{ME}|=m_E\cdot4\pi^2\cdot C_M\frac{1}{r_{EM}^2}\] Zeige damit, dass \[|\vec{F}_{EM}|=\frac{4\pi^2\cdot C_E}{m_E}\frac{m_E\cdot m_M}{r_{EM}^2}\] gilt und bestimme die Gravitationskonstante \[\gamma=\frac{4\pi^2\cdot C_E}{m_E}\]

   Lösung:

   1. Bewegt sich der Mond auf einer Kreisbahn, so wirkt die Zentripetalkraft \[|\vec{F}_{EM}|=m_M\cdot\frac{v_M^2}{r_{EM}}.\] Die Geschwindigkeit des Mondes beträgt dabei \[v_M=\frac{2\pi\cdot r_{EM}}{T_M}.\] Einsetzen in die obere Gleichung liefert: \[|\vec{F}_{EM}|=m_M\cdot\frac{v_M^2}{r_{EM}}=m_M\cdot\frac{\left(\frac{2\pi\cdot r_{EM}}{T_M}\right)^2}{r_{EM}}=m_M\cdot\frac{4\pi^2\cdot r_{EM}}{T_M^2}\] Mit dem 3. Keplerschen Gesetz und \(a_M=r_{EM}\) (für Kreisbahnen) folgt: \[\frac{a_M^3}{T_M^2}=\frac{r_{EM}^3}{T_M^2}=C_E\Leftrightarrow \frac{r_{EM}}{T_M^2}=C_E\cdot\frac{1}{r_{EM}^2}\] Einsetzen in die vorherige GLeichung liefert: \[|\vec{F}_{EM}|=m_M\cdot4\pi^2\cdot C_E\frac{1}{r_{EM}^2}\]
   2. Ein Objekt der Masse \(m\) auf der Erdoberfläche erfährt demnach die Beschleunigung \[a=\left.\frac{|\vec{F}_G|}{m}\right|_{r=r_{E}}=4\pi^2\cdot C_E\frac{1}{r_{E}^2}\stackrel{!}{=}9.81\frac{m}{s^2}\] Mit \(r_{E}=6.371\cdot 10^6m\) folgt: \[C_E=9.81\frac{m}{s^2}\frac{r_E^2}{4\pi^2}=9.81\frac{m}{s^2}\frac{\left(6.371\cdot 10^6m\right)^2}{4\pi^2}=(1/9.83\cdot 10^{-14})\frac{m^3}{s^2}\]
   3. -
   4. Aus \[|\vec{F}_{EM}|=|\vec{F}_{ME}|\] folgt: \[m_M\cdot4\pi^2\cdot C_E\frac{1}{r_{EM}^2}=m_E\cdot 4\pi^2\cdot C_M\frac{1}{r_{EM}^2}\Leftrightarrow \frac{C_M}{m_M}=\frac{C_E}{m_E}\] Wir sehen, dass der Quotient von Keplerkonstante und Masse für alle Zentralkörper gleich ist.
      Weiterhin folgt durch Erweitern: \[|\vec{F}_{EM}|=m_M\cdot 4\pi^2\cdot C_E\frac{1}{r_{EM}^2}\frac{m_E}{m_E}=\frac{4\pi^2\cdot C_E}{m_E}\frac{m_\cdot m_M}{r_{EM}^2}=\gamma\frac{m_E\cdot m_M}{r_{EM}^2}\] wobei die Gravitationskonstante \[\gamma=\frac{4\pi^2\cdot C_E}{m_E}=6.674\cdot 10^-11\frac{N\cdot m^2}{kg^2}\] konstant ist und für alle Zentralkörper gilt.

4. Exkurs: Im Folgenden Online-Lab kann die Gravitationskonstante experimentell bestimmt werden.

Aufgaben

1. Berechne die Gravitationskraft zwischen
   1. Erde und Sonne. (Recherchiere die Daten eigenständig im Internet)
   2. Mount Everest \(m_{Me}=458\cdot 10^9 t\) und dem Burj Khalifa \(m_B=5\cdot 10^5 t\), welche in einem Abstand von ca. 3500km stehen. Vergleiche den Wert für den Fall das diese nur 1cm von einander Entfernt wären.
   3. zwei Menschen à 70kg im Abstand von 1m.