MATHE → Klasse 7 & 8 → Mehrstufige Zufallsexperimente

Einstieg

Welche Zufallsexperimente kennst du bereits?
Was versteht man unter folgenden Begriffen? Überlege dir zu jedem Begriff ein Beispiel zum Zufallsexperiment 6-seitiger Würfel würfeln.

Zufallsexperiment:

Wahrscheinlichkeit:

Relative Häufigkeit:

Ergebnis:

Ergebnismenge:

Ereignis:

Gegenereignis:

Lootboxen sind Scam

Der sehr erfolgreiche Streamer "Ninja" zeigt in seinen Streams regelmäßig wie er sogenannte "lootboxen" im Videospiel CS:GO öffnet. Lootboxen beinhalten für das Spiel rein kosmetische Gegenstände, welche in vielen Ländern weiterhin für echtes Geld unter den Spieler:innen gehandelt werden können. Eine Lootbox kostet 2,50 €, der wertfollste Gegenstand ist 1,4Mio € wert.
Die Inhalte einer Lootbox werden in fünf verschiedene Kategorien unterteilt:

Blau

Lila

Rosa

Rot

Gold

Jede Lootbox beinhaltet 17 Gegenstände aus diesen fünf Kategorien, wobei Blau am häufigsten auftritt, Gold am seltensten.
Lohnt es sich eine Lootbox zu kaufen?
In einem Stream hat Ninja drei mal hintereinander einen goldenen Gegenstand aus der Lootbox gezogen, wie wahrscheinlich war dieses Ergebnis?

Projektarbeit

Grundbegriffe Zufalssexperimente

Bei einem einstufigen Zufallsexperiment ist das Ergebnis einer Durchführung nicht genau vorhersagbar. Jedem möglichen Ergebnis \(E_i\) aus der Ergebnismenge \(\Omega=\lbrace E_1,\ldots E_n\rbrace\) wird dabei eine Wahrscheinlichkeit \(P(E_i)\) zugeordnet. Bei genügend häufiger Durchführung des Zufallsexperiments nähert sich die relative Häufigkeit \[R(E_i)=\frac{\text{Häufigkeit von } E_i\text{ in aus allen Durchführungen}}{\text{Anzahl der Durchführungen}}\] der Wahrscheinlichkeit \(P(E_i)\) an.
Eine Teilmenge der Ergebnismenge bezeichnet man als Ereignis \(A\). Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in \(A\), bspw. sei \[A=\lbrace E_1, E_4\rbrace,\] dann gilt \[P(A)=P(E_1)+P(E_4).\] Als Gegenereignis \(\bar{A}\) eines Ereignisses \(A\) bezeichnet man die Menge aller Ergebnisse aus \(\Omega\), welche nicht in \(A\) sind. Dessen Wahrscheinlichkeit ist folglich \[P(\bar{A})=1-P(A)\] Beispiel: Würfeln eines Tetraeders (4-seitiger Würfel)
Die Ergebnismenge besteht aus den vier möglichen Seiten: \[\Omega=\lbrace 1, 2,3,4\rbrace\] Die Wahrscheinlichkeit jeder Seite soll gleichgroß sein: \[P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=\frac{1}{4}\] Das Ereignis "es wird eine Zahl größer 1 gewürfelt" \[A=\lbrace 2,3,4\rbrace\] hat die Wahrscheinlichkeit \[P(A)=P(2)+P(3)+P(4)=\frac{3}{4},\] das Gegenereignis \[\bar{A}=\lbrace 1\rbrace\] die Wahrscheinlichkeit \[P(\bar{A})=1-P(A)=\frac{1}{4}.\] Mithilfe eines Baumdiagramms Zufalslexperimente übersichtlich darstellen:

Führt man das Zufallsexperiment 6 mal durch und dabei tritt das Ereignis 1 zweimal auf und das Ereignis 2 viermal, so lauten die Relativen Häufigkeiten der Ereignisse: \[R(1)=\frac{2}{6}\quad R(2)=\frac{4}{6}\quad R(3)=\frac{0}{6}\quad R(4)=\frac{0}{6}\]

Mehrstufige Zufalssexperimente

Aufgaben