MATHE → Klasse 7 & 8 → Satz des Pythagoras

Einstieg

1. Im Internet konnte man folgendes Angebot finden:
   
   Versuche herauszufinden, ob die Angaben im Angebot stimmen, indem du die Länge der Diagonalen des Displays aus den Seitenlängen des Displays berechnest. Verwende dafür folgende Abbildung:
   
   Gehe nun wie folgt vor:
   1. Zeichne das Handy zweimal im Maßstab 1:1 auf ein karriertes Blatt Papier und schneide sie aus. Halbiere anschließend das Handy durch die Diagonale und lege mit den Dreiecken die abgebildete Figur nach. Bestätige damit, dass sich die Abgebildete Figur wirklich zusammenlegen lässt.
   2. Versuche zunächst nur mithilfe der Abbildung die Länge der gesuchten Seite zu bestimmen.
   3. Berechne den Flächeninhalt des großen Quadrats und den Flächeninhalt eines der Dreiecke.
   4. Berechne mithilfe des vorherigen Schrittes den Flächeninhalt des kleinen Quadrates.
   5. Bestimme aus dem Flächeninhalt des kleinen Quadrates dessen Seitenlänge.
   6. Anspruchsvoll: Schreibe einen vollständigen Term zur Berechnung der Seitenlänge \(c\) mithilfe der kurzen Seite \(b\) und der langen Seite \(a\) des Handys auf.

Aufgaben

1. Hier ein Beispiel:
   
   Für die Seitenlänge \(c\) gilt: \[\begin{eqnarray} c^2&=& a^2+b^2\\ c&=&\sqrt{a^2+b^2}\\ &=&\sqrt{3^2+4^2} &=&\sqrt{25}=5 \end{eqnarray}\] Die Hypothenuse hat also die Länge 5.
2. Gegeben sei folgendes rechtwinkliges Dreieck:
   
   1. Stelle den Satz des Pythagoras für das Dreieck auf.
   2. Berechne die fehlende Seitenlänge.
3. Gruppenpuzzel: Vertiefung SdP
   Phase 1:
   Gegeben seien die folgenden Dreiecke. Berechne die fehlende Seite.
   
   Phase 2:
   Tauscht euch in eurer Gruppe über die verschiedenen Fälle aus und übertragt die Ergebnisse in euer Heft. Worin unterscheiden sich die drei Aufgaben?
   Phase 3:
   Berechnet gemeinsam die fehlenden Seiten folgender Dreiecke. Schreibt die Lösung in geeigneter Form auf, sodass sie vorgestellt werden können.
   
4. Geometrischer Beweis: Satz des Pythagoras
   Lege deine vier Dreiecke aus Einstiegsaufgabe 1 zu der rechten Abbildung zusammen:
   

   
   1. Bestätige damit ganz allgemein (also ohne Zahlen) durch Vergleichen mit der linken Abbildung, dass \[a^2+b^2=c^2\] gilt. Mache dir dafür klar, welche Fläche \(c^2\) in der linken Abbildung darstellt und wie man diese in der rechten Abbildung wiederfindet.
5. Flacherdler
   Ein einfaches Argument gegen die Annahme, die Erde sei Flach, ist es zu zeigen, dass sich die Sichtweite von einem erhöhten Punkt an der Merresküste mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen lässt.
   
   1. Berechne die Sichtweite \(x\) auf der Erde von einem 40 m hohen Leuchturm an der Küste (siehe Abbildung).
   2. Wie hoch muss ein Leuchtturm gebaut sein, damit er ein Schiff rechtzeitig, mindestens 1 km Sichtentfernung, vor der Küste warnen kann?