MATHE → Klasse 7 & 8 → Lineare Gleichungen

Einstieg

1. Funktionsgleichungen aufstellen
   Auf Onlinevergleichsportalen für Stromtarife, lassen sich die Kosten eines Tarifs für einen vorgegebenen Stromverbrauch berechnen. Häufig beinhalten die Stromtarife dabei bereits Grundbeträge, welcher auch ohne Stromverbrauch fällig werden.
   
   
   
   Für den Stromtarif des Anbieters "Kohleschmole" muss man bei 600 kWh 135 € zahlen. Bei 705 kWh muss man 156 € zahlen. Die Zuordnung Stromverbrauch -> Kosten ist linear.
   1. Finde heraus, wie viel man auf den Grundbetrag pro kWh bezahlen muss. (Steigung berechnen)
   2. Erkläre anschaulich, wo auf dem Funktionsgraphen der Grundbetrag abzulesen ist.
   3. Hast du eine Idee, wie man diesen berechnen könnte?
   
   

   Idee:

   Ziel ist es den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) zu bestimmen.
   Wir wissen, dass die Steigung \[m=0.2\] beträgt. Damit lautet unsere Funktionsgleichung erstmal \[f(x)=0.2x+b\] Nun haben wir die weitere Information, dass der Punkt \[A(600|135)\] auf dem Funktionsgraphen liegt. Diesen können wir in unsere Funktionsgleichung einsetzen: \[f(600)=0.2\cdot 600 + b=135\] Wir erhalten die Gleichung \[0.2\cdot 600 + b=135\] und lösen diese nach \(b\) auf: \[\begin{eqnarray} 0.2\cdot 600 + b &=& 135\\ 120 +b &=& 135 \\ b&=& 15 \end{eqnarray} \] D.h. der Grundbetrag beträgt 15 € und die Funktionsgleichung lautet dann \[f(x)=0.2x+15\]

2. Neben der Funktionsgleichung einer linearen Funktion \[f(x)=mx+b,\] gibt es auch noch die sogenannte Geradengleichung \[y=mx+b.\]
3. Nullstellen
   In der 8b befinden sich 26 Schüler:innen. Pro Schuljahr verlassen in der 8b im Schnitt 1.2 Schüler:innen die Klasse, weil sie nicht für Mathe gelernt haben.
   1. Welche der folgenden Funktionen beschreibt den Zusammenhang? \[f(x)=26x+1.2\] \[f(x)=1.2x+26\] \[f(x)=-1.2x-26\] \[f(x)=-1.2x+26\]
   2. Bestimme den Zeitpunkt \(x\), zu dem keine Schüler:innen mehr in der Klasse sind. Dir könnte die Gleichung \[0=-1.2x+26\] helfen.

Aufgaben

1. Bestimme die linearen Funktionen, welche durch die Punkte A und B gehen.
   1. \(A(0.5|4)\; B(2|3)\)
   2. \(A(3|4)\; B(2|3)\)
   3. \(A(-2|0.1)\; B(2|0.3)\)
2. Eine lineare Funktion soll die Steigung \(m=-3\) besitzen. Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt der Funktion so, dass die Funktion durch den Punkt \(A(-4|4)\) geht.
3. Bestimme die Nullstellen folgender linearer Funktionen:
   1. \(f(x)=-3x+12\)
   2. \(f(x)=0.3x-18\)
4. Gib den \(x\) Wert für die Funktion \[f(x)=-2x+3.5\] an, beim dem diese den Funktionswert \(f(x)=12\) annimmt.