MATHE → Klasse 7 & 8 → Funktionen

Einstieg

1. Gegeben sei folgende Tabelle mit \((x|y)\)-Wertepaaren. \[\begin{array}{|c|c|} \hline x& y\\ \hline 1& 7\\ \hline 2& 14\\ \hline 5& 35\\ \hline 4& 28\\ \hline 3.5& \\ \hline 0& \\ \hline \end{array} \]
   1. Zeige, dass die Wertepaare zu einer proportionalen Zuordnung gehören.
   2. Bestimme die Proportionalitätskonstante und die Zuordnungsvorschrift.
   3. Vervollständige mithilfe der Zuordnungsvorschrift die Wertetabelle.
   4. Stelle die Zuordnung in Form eines Graphens dar.
2. Gegeben sei folgende Tabelle mit \((x|y)\)-Wertepaaren. \[\begin{array}{|c|c|} \hline x& y\\ \hline 2& 7\\ \hline 3& 10\\ \hline 4& 13\\ \hline 5& 16\\ \hline 3.5& \\ \hline 0& \\ \hline \end{array} \]
   1. Überprüfe, ob die Zuordnung proportional ist.
   2. Bestimme eine mögliche Zuordnungsvorschrift.
   3. Vervollständige mithilfe der Zuordnungsvorschrift die Wertetabelle.
   4. Stelle die Zuordnung in Form eines Graphens dar.
   5. Worin unterscheidet sich diese Zuordnung von der ersten Zuordnung.
3. Gegeben sei folgende Tabelle mit \((x|y)\)-Wertepaaren. \[\begin{array}{|c|c|} \hline x& y\\ \hline 2& 7\\ \hline 3& 10 / 11\\ \hline 4& 13 / 15\\ \hline 5& 16\\ \hline 3.5& \\ \hline 0& \\ \hline \end{array} \]
   1. Gib an, warum sich diese Zuordnung nicht vervollständigen lässt.
   2. Gibt es eine Zuordnungsvorschrift?
4. Die beiden Graphen sollen zwei verschiedene Zuordnungen darstellen.
   

   
   1. Warum ist Graph 2 keine sinnvolle Zuordnung.
   2. Kann es für Graph 2 eine Zordnungsvorschrift geben?

Aufgaben

1. Methoden
   Herr Köhlers YouTube-Kanal hat momentan (x=0) 21 Follower. Pro Jahr kriegt er im Schnitt 10 Follower dazu.
   1. Gib einen sinnvollen Definitionsbereich \(D\) und Wertebereich \(Z\) an.
   2. Bestimme den Funktionswert \(f(x)\) für die Stellen \(x\in\lbrace 1,2,3,4,6\rbrace \).
   3. Stelle die Funktionsgleichung auf.
   4. Bestimme \(f(5),f(8)\) und \(f(100)\) mithilfe der Funktionsgleichung.
   5. Zeichne den Funktionsgraphen (sinnvoller Ausschnitt).
   6. Überprüfe, ob der Punkt \(P(12|200)\) auf dem Funktionsgraphen liegt.

   Lösung:

   1. Ein sinnvoller Definitionsbereich sind die Natürlichen Zahlen \(D=\mathbb{Z}\). Ebenso für den Wertebereich \(Z=\mathbb{Z}\).
   2. \(f(1)=31,f(2)=41,f(3)=51,f(4)=61,f(6)=81\)
   3. Die Funktionsgleichung lautet: \[f(x)=10x+21\]
   4. \[f(5)=10\cdot 5+21=71\] \[f(8)=10\cdot 8+21=101\] \[f(5)=10\cdot 100+21=1021\]
   5. Hierfür können wir die bereits zuvor bestimmen Funktionswerte nutzen: \[\begin{array}{|c|c|} \hline x& f(x)\\ \hline 0& 21\\ \hline 1& 31\\ \hline 2& 41\\ \hline 3& 51\\ \hline 4& 61\\ \hline 5& 71\\ \hline \end{array} \]
      
      Es ist immer hilfreich mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle für einige \(x\in D\) aufzustellen um den Funktionsgraphen zu zeichnen.
   6. Dies Methode heißt Punktprobe:
      Wir überprüfen mithilfe der Funktionsgleichung, ob \[f(12)=200\] gilt: \[f(12)=10\cdot 12+21=141\neq 200\] Folglich liegt der Punkt \(P(12|200)\) nicht auf dem Funktionsgraphen.