MATHE → Klasse 7 & 8 → Gleichungen und Formeln

Einstieg

1. Herr Köhler stellt folgendes Zahlenrätsel:
   "Wenn ich meine gedachte Zahl mit 5 multipliziere und 8 addiere, erhalte ich dasselbe, wie wenn ich die Zahl mit 2 multipliziere und 2 addiere."
   Versuche das Zahlenrätsel zu lösen. Beschreibe dabei dein Vorgehen.
2. Herr Köhler stellt folgendes Zahlenrätsel:
   "Wenn ich zu meiner gedachten Zahl 8 addiere und die Summe mit 2 multipliziere, erhalte ich dasselbe, wie wenn ich die Zahl mit 2 addiere."
   
   1. Begründe, warum das Zahlenrätsel durch folgende Gleichung beschrieben wird: \[2\cdot (x+8)=x+2\]
   2. Bestimme die Lösung der Gleichung.
3. 
   Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:
   1. \(2x+1=0\)
   2. \(2x+1=x\)
   3. \(2(x+1)+2x=-x\)
   Führe anschließend eine Probe durch.
4. Formuliere ein eigenes Zahlenrätsel, bestimme die Lösung und lass das Rätsel von deinem/deiner Sitznachbar:in lösen.
5. Von einem Rechteck ist die lange Seite \(a\) um 3 cm länger als die kurze Seite \(b\). Verkürzt man die lange Seite um 4 cm und verlängert man die kurze Seite um 5cm, so erhält man ein Rechteck mit gleichem Flächeninhalt. Welche Länge hat \(a\)?
   
   
   
   

   Vorgehen:

   1. Begründe warum \(a=b+3\) gilt.
   2. Begründe warum der Flächeninhalt des ersten Rechtecks durch \[b\cdot (b+3)\] berechnet wird.
   3. Begründe warum das zweite Rechteck die Seitenlängen \[(b+3)-4=b-1\] und \[b+5\] besitzt.
   4. Begründe warum der Flächeninhalt des zweiten Rechtecks durch \[(b-1)\cdot (b+5)\] berechnet wird.
   5. Wieso gilt insgesamt folgende Gleichung: \[b\cdot (b+3)=(b-1)\cdot (b+5)\]
   6. Löse die Klammern auf.
   7. Bestimme die Lösung der Gleichung.

   Gleichung lösen

   \[\begin{eqnarray} b\cdot (b+3)&=&(b-1)\cdot(b+5)\\ b^2+3b&=& b^2+5b-b-5\\ b^2+3b&=& b^2+4b-5\quad|-b^2\\ +3b&=& 4b-5\quad|-4b\\ -1b&=& -5\quad|:(-1)\\ b&=& 5 \end{eqnarray}\]

6. Wenn Herr Köhler alle Arme in seinem Keller plus die Arme des Nachbarn halbiert, erhält er insgesamt 20 Gliedmaßen. Bestimme die Anzahl an Armen in seinem Keller.
7. Formuliere mindestens drei Schritte die zum Lösen der oberen Aufgaben benötigt wurden.
   1. Variablen für unbekannte Größen einführen.
   2. ...
   3. ...
   4. ...

Aufgaben

1. Wir üben nochmal das Auflösen von Klammern:
   1. \(2(x+2)\)
   2. \((2+x)\cdot (2-x)\)
   3. \((2x+2)^2\)
2. Ein Dreieck soll einen Umfang von 26 cm haben. Die Seite \(a\) soll zu dem drei mal so lang sein wie die Seite \(b\) und ist um 5 cm kürzer als die Seite \(c\). Bestimme die Seitenlängen des Dreiecks.
3. Löse die Gleichungen. Was fällt dir auf?
   1. \(x(1+x)=x^2+3\)
   2. \(3(x+3)=3x+12\)
   3. \(3(x+3)=3x+12-3\)
   4. \(x(x-3)=-3x+4\)
4. Löse die Gleichungen. Überprüfe anschließend mit einer Probe.
   1. \(2(x+2)=3\)
   2. \((x-1)(x+1)=x^2+x\)
   3. \(4\cdot(x^2+3x)+2=x(x+2)\)
5. Brainstorming: Welche Formeln sind dir bereits aus der Physik und Chemie bekannt? Was kann man mit ihnen ausrechnen?
6. Für dem Flächeninhalt eines Rechtecks gilt: \[A=a\cdot b\]
   1. Stelle mithilfe von Äquivalenzumformungen eine Formel zur berechnung der Seite \(a\) auf.
7. Herr Köhler bekommt pro Monat \(g\) Euro Gehalt. auf seinem Konto liegen bereits 50€. Er will sich für 1500€ ein neues Fahrrad kaufen.
   1. Stelle zunächst eine Gleichung auf, welche angibt, wie viel Geld er nach \(x\) Monaten besitzt.
   2. Stelle durch Äquivalenzumformungen eine Formel auf, welche die Anzahl der zu sparenden Monate in Abhängig vom monatlichen Gehalt \(G\) berechnet.
   3. Berechne die zu wartenden Monate für ein Gehalt von 350€, 400€ und 450€ aus.
8. Ein Spannungstransformator (kurz: Trafo) wandelt die Spannung einer Spannungsquelle \(U_1\) in eine andere Spannung \(U_2\) um. Der Umrechnungsfaktor hängt dabei von den Windungszahlen \(n_1\) und \(n_2\) der in dem Trafo verbauten Spulen ab. Für die Umwandlung gilt: \[\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}\]
   1. Stelle eine Formel für die Ausgabespannung \(U_2\) auf.
   2. Berechne \(U_2\) für \(n_1=400\), \(n_2=200\) und \(U_1\in\lbrace 5V, 10V, 12V\rbrace\).
9. Gruppenpuzzel
   Formel 1 - Volumen eine Zylinders
   Um das Volumen eines Zylinders mit Höhe \(h\) und Radius \(r\) zu berechnen, benutzt man folgende Formel: \[V_Z=2\pi r^2h\] Dabei ist \(\pi\approx 3.14\) die sogenannte Kreiszahl.
   Formel 2 - Temperatur von Grad Celsius in Grad Fahrenheit umrechnen:
   Zur Umrechnung der Temperatur von Grad Celsius \(T_C\) in Grad Fahrenheit \(T_F\) benutzt man folgende Formel: \[T_F=\frac{9}{5}T_C+32\] Formel 3 - Winkelmaß ins Bogenmaß umrechnen:
   Um vom Winkelmaß \(\alpha\) in das Bogenmaß \(l_\alpha\) umzurechnen, benutzt man folgende Formel: \[l_\alpha = \frac{2\pi}{360°}\alpha\] Dabei ist \(\pi\approx 3.14\) die sogenannte Kreiszahl.
   1. Formuliere zu der dir zugewiesenen Formel eine eigene Aufstellung ähnlich zu Aufgabe 8, welche du deinen Mitschüler:innen stellen kannst.
   2. Erstelle eine passende Musterlösung.
   3. Tauscht anschließend eure Aufgaben aus.
10. Ein Auto fährt mit 18 km/h. Berechne die zurückgelegte Strecke nach 23 min.