MATHE → Klasse 11 & 12 → E-Funktion
Einstieg
Ziel: Die Schüler:innen sollen Exponentialfunktionen in eine Form mit der Basis e umwandeln und deren Ableitung bilden können.
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Bierschaumexperiment
In einem Messbecher wird Bierschaum eingefüllt. Die Höhe des Bierschaums soll in Abhängigkeit von der Zeit in einer Tabelle notiert werden.
- Trage in einem Koordinatensystem die Höhe des Schaums \(h(t)\) gegenüber der Zeit \(t\) auf.
- Gib begründet an, dass der Verlauf durch die Funktionsgleichung
\[h(t)=ab^t\]
beschrieben wird. Wie verhält sich der Verlauf für \(t\rightarrow \infty\)?
- Zeichne näherungsweise eine geeignet Regressionskurve durch die Messpunkte und bestimme die Zeit \(t_H\), nach der sich die Höhe des Bierschaums halbiert hat. Ist diese Zeit konstant?
- Leite mithilfe der Funktionsgleichung für \(h(t)\) her, dass
\[b=2^{-\frac{1}{t_H}}\]
gilt und berechne \(b\) und \(a\).
- Beschreibe die Änderung der Höhe des Bierschaums. Wann ändert sich die Höhe besonders stark, wann fast gar nicht mehr? Versuche den Verlauf der Änderung (Ableitung) in das Koordinatensystem aus 1. einzutragen. Woran erinnert dich dieser?
- Zeige, dass allgemein für eine Funktion
\[f(x)=ab^x\]
gilt:
\[f'(x)=\lim_{h\mapsto 0}\frac{b^h-1}{h}ab^x\]
- Für den Luftdruck auf der Erde in der Höhe \(h\) gilt in erster Näherung
\[p(h)=1018\rm{hPa}\cdot e^{-h/8.4\rm{km}}.\]
Ab spätestens ca. 600 hPa Luftdruck bekommen die meisten Menschen Probleme mit der Atmung und leiden unter der Höhenkrankheit, welche Lebensgefährlich sein kann.
- Berechne die Höhe, ab der dieser Luftdruck erreicht wird.
- Löse die folgenden Gleichungen:
- \[e^{2x}-3=4\]
- \[e^{2x}+e^{2x}x=0\]
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BierschaumexperimentIn einem Messbecher wird Bierschaum eingefüllt. Die Höhe des Bierschaums soll in Abhängigkeit von der Zeit in einer Tabelle notiert werden.
- Trage in einem Koordinatensystem die Höhe des Schaums \(h(t)\) gegenüber der Zeit \(t\) auf.
- Gib begründet an, dass der Verlauf durch die Funktionsgleichung \[h(t)=ab^t\] beschrieben wird. Wie verhält sich der Verlauf für \(t\rightarrow \infty\)?
- Zeichne näherungsweise eine geeignet Regressionskurve durch die Messpunkte und bestimme die Zeit \(t_H\), nach der sich die Höhe des Bierschaums halbiert hat. Ist diese Zeit konstant?
- Leite mithilfe der Funktionsgleichung für \(h(t)\) her, dass \[b=2^{-\frac{1}{t_H}}\] gilt und berechne \(b\) und \(a\).
- Beschreibe die Änderung der Höhe des Bierschaums. Wann ändert sich die Höhe besonders stark, wann fast gar nicht mehr? Versuche den Verlauf der Änderung (Ableitung) in das Koordinatensystem aus 1. einzutragen. Woran erinnert dich dieser?
- Zeige, dass allgemein für eine Funktion \[f(x)=ab^x\] gilt: \[f'(x)=\lim_{h\mapsto 0}\frac{b^h-1}{h}ab^x\]
- Für den Luftdruck auf der Erde in der Höhe \(h\) gilt in erster Näherung
\[p(h)=1018\rm{hPa}\cdot e^{-h/8.4\rm{km}}.\]
Ab spätestens ca. 600 hPa Luftdruck bekommen die meisten Menschen Probleme mit der Atmung und leiden unter der Höhenkrankheit, welche Lebensgefährlich sein kann.
- Berechne die Höhe, ab der dieser Luftdruck erreicht wird.
- Löse die folgenden Gleichungen:
- \[e^{2x}-3=4\]
- \[e^{2x}+e^{2x}x=0\]
Aufgaben
- Schreibe die folgenden Exponentialfunktionen als \(e\)-Funktion:
- \(f(x)=2^x\)
- \(f(x)=3\cdot 3^x-3\)
- \(f(x)=3^{2.5x}\)
- Leite aus den Potenzgesetzen das Logarithmusgesetze her:
\[\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)\]
Nutze dafür
\[a=e^x\quad b=e^y\]
und berechne
\[a\cdot b=\ldots.\]
- Schreibe die folgenden Exponentialfunktionen als \(e\)-Funktion:
- \(f(x)=2^x\)
- \(f(x)=3\cdot 3^x-3\)
- \(f(x)=3^{2.5x}\)
- Leite aus den Potenzgesetzen das Logarithmusgesetze her: \[\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)\] Nutze dafür \[a=e^x\quad b=e^y\] und berechne \[a\cdot b=\ldots.\]