MATHE → Klasse 11 & 12 → Lagebeziehung zweier Geraden
Einstieg
Ziel: Die Schüler:innen sollen die Lage zweier Geraden im Raum mithilfe ihrer Parameterform untersuchen können.
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In der Abbildung sind vier Geraden zu sehen.
- Beschreibe die Lage der Geraden b, c und d zur Gerade a.
- Stelle eine Parametergleichung für jede Gerade auf.
- Beziehe deine Beschreibungen aus 1. auf die Parameteform der Geraden. Woran lässt sich die Lagebeziehung an der Parameterform erkennen?
- Die Geraden a und c schneiden sich. Wie lässt sich dies mithilfe der Parameterform überprüfen. Tipp: Gleichsetzen
-
In den französischen Alpen soll ein Tunnel mithilfe von Tunnelbohrmaschinen gebaut werden. Diese sollen zu Beginn in eine Richtung ausgerichtet werden, sodass sich die Bohrlöcher in der Mitte des Berges treffen. Aus den lokalen GPS-Koordinaten können folgende Angaben entnommen werden:
Tunnelbohrer 1 startet bei
\[\vec{a}=\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
0\\
\end{array}
\right)\]
und bohrt in Richtung
\[\vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}
-2\\
-2\\
-1\\
\end{array}
\right).\]
Tunnelbohrer 2 startet bei
\[\vec{b}=\left(\begin{array}{c}
-4\\
-4.3\\
3\\
\end{array}
\right)\]
und bohrt in Richtung
\[\vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}
3\\
2.7\\
-1.5\\
\end{array}
\right).\]
- Überprüfe, ob das Vorhaben gelingt. Stelle dafür die Parametergleichungen der Geraden auf. Überprüfe anschließend, ob sich die Geraden schneiden.
- Wie lässt sich dein Ergebnis aus 1. erklären?
- Gib an, welche Lagebeziehung zwei Geraden im dreidimensionalen Raum haben können.
- Fertige zunächst eine Übersicht an, in der stichpunktartig erklärt wird, wie man die vier verschiedenen Lagebeziehungen zweier Geraden im dreidimensionalen Raum mithilfe derer Parametergleichungen untersuchen kann.
Überlege dir anschließend eine möglichst geschickte Vorgehensweise, um die Lagebeziehung zweier Geraden zu untersuchen. Stelle das Vorgehen in Form eines Baumdiagramms dar.
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In der Abbildung sind vier Geraden zu sehen.
- Beschreibe die Lage der Geraden b, c und d zur Gerade a.
- Stelle eine Parametergleichung für jede Gerade auf.
- Beziehe deine Beschreibungen aus 1. auf die Parameteform der Geraden. Woran lässt sich die Lagebeziehung an der Parameterform erkennen?
- Die Geraden a und c schneiden sich. Wie lässt sich dies mithilfe der Parameterform überprüfen. Tipp: Gleichsetzen
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In den französischen Alpen soll ein Tunnel mithilfe von Tunnelbohrmaschinen gebaut werden. Diese sollen zu Beginn in eine Richtung ausgerichtet werden, sodass sich die Bohrlöcher in der Mitte des Berges treffen. Aus den lokalen GPS-Koordinaten können folgende Angaben entnommen werden:
Tunnelbohrer 1 startet bei \[\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 0\\ \end{array} \right)\] und bohrt in Richtung \[\vec{v}_1=\left(\begin{array}{c} -2\\ -2\\ -1\\ \end{array} \right).\] Tunnelbohrer 2 startet bei \[\vec{b}=\left(\begin{array}{c} -4\\ -4.3\\ 3\\ \end{array} \right)\] und bohrt in Richtung \[\vec{v}_2=\left(\begin{array}{c} 3\\ 2.7\\ -1.5\\ \end{array} \right).\]
- Überprüfe, ob das Vorhaben gelingt. Stelle dafür die Parametergleichungen der Geraden auf. Überprüfe anschließend, ob sich die Geraden schneiden.
- Wie lässt sich dein Ergebnis aus 1. erklären?
- Gib an, welche Lagebeziehung zwei Geraden im dreidimensionalen Raum haben können.
- Fertige zunächst eine Übersicht an, in der stichpunktartig erklärt wird, wie man die vier verschiedenen Lagebeziehungen zweier Geraden im dreidimensionalen Raum mithilfe derer Parametergleichungen untersuchen kann.
Überlege dir anschließend eine möglichst geschickte Vorgehensweise, um die Lagebeziehung zweier Geraden zu untersuchen. Stelle das Vorgehen in Form eines Baumdiagramms dar.
