MATHE → Klasse 11 & 12 → Geraden

Einstieg

Ziel: Die Schüler:innen sollen Geraden im Raum mithilfe ihrer Parameterform beschreiben und diese zur Modellbildung in Sachzusammenhängen im dreidimensionalen Raum verwenden.

Eine Schnecke kriecht vom Punkt \(A(2|3)\) in Richtung vo Punkt \(B(3|5)\) und darüber hinaus.

Beschreibe den Weg der Schnecke.

Gib die Koordinaten aller Punkte der Kriechspur an. Wie könnte man die Spur mithilfe von Vektoren beschreiben?

Geraden

Eine Gerade im Raum besteht aus unendlichen vielen Punkten \[(x_1(k)|x_2(k)|x_3(k)),\quad k\in\mathbb{R}\] mit \[\vec{x}(k)=\left(\begin{array}{c} x_1(k)\\ x_2(k)\\ x_3(k)\\ \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{array} \right)+k\cdot \left(\begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ v_3\\ \end{array} \right)\] bzw. \[\vec{x}(k)=\vec{a}+k\vec{v}.\] Diese Darstellung heißt Parameterform, da sie mithilfe eins Parameters \(k\) beschrieben wird. Man kann sich vorstellen, dass der Vektor \(\vec{x}(k)\) vom Koordinaten Ursprung auf jeden Punkt auf der Geraden zeigt. Der Vektor \(\vec{a}\) heißt Stützvektor der Geraden und \(\vec{v}\) Richtungsvektor.

Beispiel:
Besonders leicht lässt sich die Parameterform bestimmen, wenn zwei Punkte vorgegeben sind: \[A(1|2|3)\quad B(5|6|1)\] Der Stützvektor kann nun so gewählt werden, dass er auf einen der beiden Punkte vom Koordinatenursprung aus zeigt: \[\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3\\ \end{array} \right)\] Der Richtungsvektor muss dann von A nach B zeigen, also \[\vec{v}=\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 5\\ 6\\ 1\\ \end{array} \right)-\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3\\ \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} 4\\ 4\\ 4\\ \end{array} \right).\] Die Parameterform lautet damit \[\vec{x}(k)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3\\ \end{array} \right)+k\cdot \left(\begin{array}{c} 4\\ 4\\ 4\\ \end{array} \right).\]

Anmerkung: Wie wir später noch sehen werden, gibt es undendlich viele Parameterformen für ein und dieselbe Gerade.

Aufgaben

Der Stürzvektor einer Geraden soll \[\vec{a}=\left(\begin{array}{c} -1\\ 0\\ \end{array} \right)\] und der Richtungsvektor \[\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 3\\ 2\\ \end{array} \right)\] sein. Zeichne die Gerade und stelle die Parameterform der Geraden auf.

Eine Gerade hat den Stützvektor \[\vec{u}=\left(\begin{array}{c} -4\\ 4\\ 2\\ \end{array} \right)\] und den Richtungsvektor \[\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 4\\ 0\\ 3\\ \end{array} \right)\]

Stelle die Parameterform der Geraden auf.

Bestimme die Koordinaten dreier Punkte, welche auf der Geraden liegen.

Bestimme die Koordinaten der Punkte, welche drei mal die Länge des Richtungsvektors vom Punkt \(A(-4|4|2)\) entfernt und auf der Geraden liegen.

Bestimme die Koordinaten der Punkte auf der Geraden, welche den Abstand 2 LE vom Punkt A haben.

Gegeben seien die Punkte \[A(3|3|2)\quad B(-1|-2|5).\]

Stelle die Parameterform der Geraden auf, welche durch die Punkte A und B geht.

Begründe, warum \[\vec{x}(t)=\left(\begin{array}{c} -5\\ -7\\ 8\\ \end{array} \right)+t\cdot \left(\begin{array}{c} -4\\ -5\\ 3\\ \end{array} \right) \] dieselbe Gerade beschreibt.

Begründe, warum \[\vec{x}(t)=\left(\begin{array}{c} 3\\ 3\\ 2\\ \end{array} \right)+t\cdot \left(\begin{array}{c} -2\\ -2.5\\ 3\\ \end{array} \right) \] dieselbe Gerade beschreibt.

Begründe, warum \[\vec{x}(t)=\left(\begin{array}{c} 3\\ 3\\ 2\\ \end{array} \right)+t\cdot \left(\begin{array}{c} 4\\ 5\\ -3\\ \end{array} \right) \] dieselbe Gerade beschreibt.