MATHE → Klasse 11 & 12 → Skalarprodukt
Einstieg
Ziel: Die Schüler:innen sollen das Skalarprodukt zur überprüfung von orthogonalität zwischen zwei Vektoren nutzen.
-
Im Luftraum von Berlin befinden sich zwei Flugzeuge. Vom Flugverkehrskontrollturm werden uns die Flugrichtungen der Flugzeuge mitgeteilt. Flugzeug A soll sich demnach in Richtung
\[\vec{v}=\left(\begin{array}{c}
3\\
6\\
0\\
\end{array}
\right)
\]
und Flugzeug B in Richtung
\[\vec{w}=\left(\begin{array}{c}
4\\
-2\\
0\\
\end{array}
\right)
\]
bewegen. Zudem wissen wir, dass sich Flugzeug A von Osten nach Westen bewegt. Über den Flugfunk wird behauptet, dass sich Flugzeug B von Norden nach Süden bewegen würde. Stimmt diese Behauptung?
- Überlege dir zunächst Kriterien, die zum Bestätigen der Behauptung überprüft werden müssten.
- Überprüfe deine Kriterien aus der vorherigen Aufgabe.
- Verallgemeinere deine Überlegungen aus 1. und 2. für beliebige Flugrichtungen. Nutze als Hilfe folgende Anleitung.
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Im Luftraum von Berlin befinden sich zwei Flugzeuge. Vom Flugverkehrskontrollturm werden uns die Flugrichtungen der Flugzeuge mitgeteilt. Flugzeug A soll sich demnach in Richtung
\[\vec{v}=\left(\begin{array}{c}
3\\
6\\
0\\
\end{array}
\right)
\]
und Flugzeug B in Richtung
\[\vec{w}=\left(\begin{array}{c}
4\\
-2\\
0\\
\end{array}
\right)
\]
bewegen. Zudem wissen wir, dass sich Flugzeug A von Osten nach Westen bewegt. Über den Flugfunk wird behauptet, dass sich Flugzeug B von Norden nach Süden bewegen würde. Stimmt diese Behauptung?
- Überlege dir zunächst Kriterien, die zum Bestätigen der Behauptung überprüft werden müssten.
- Überprüfe deine Kriterien aus der vorherigen Aufgabe.
- Verallgemeinere deine Überlegungen aus 1. und 2. für beliebige Flugrichtungen. Nutze als Hilfe folgende Anleitung.
Aufgaben
- Berechne die Skalarprodukte zwischen folgenden Vektoren. Gib an, welche Vektoren orthogonal zueinander sind.
\[\vec{u}=\left(\begin{array}{c}
-1\\
0\\
1\\
\end{array}
\right)\]
\[\vec{v}=\left(\begin{array}{c}
0\\
2\\
0\\
\end{array}
\right)\]
\[\vec{w}=\left(\begin{array}{c}
1\\
-2\\
3\\
\end{array}
\right)\]
- Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren
\[\vec{u}=\left(\begin{array}{c}
-4\\
4\\
2\\
\end{array}
\right)\]
\[\vec{v}=\left(\begin{array}{c}
4\\
0\\
3\\
\end{array}
\right)\]
-
Zeige, dass
\[\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\]
gilt.
- Das Skalarproduk genauer verstehen
Gegeben seien zwei Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\). Jeder Vektor \(\vec{v}\) lässt sich in einen zu \(\vec{u}\) parallelen Anteil \(\vec{v}_\parallel\) und einen orthogonalen Anteil \(\vec{v}_\perp\) zerlegen, sodass
\[\vec{v}=\vec{v}_\parallel +\vec{v}_\perp\]
gilt.
Zeige damit, dass
\[\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cos \phi\]
gilt. Benutze dafür, dass
\[\vec{v}_\parallel=|\vec{v}_\parallel|\cdot\vec{e}_\vec{u}\]
und
\[\vec{e}_\vec{u}\cdot\vec{e}_\vec{u}=1\]
gilt.
Zeige zudem, dass
\[\vec{v}_\parallel=(\vec{e}_\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{e}_\vec{u}\]
gilt.
Das Skalarprodukt kann also verwendet werden, um Anteile eines Vektors in eine bestimmte Richtung zu berechnen. Dies spielt in der Mathematik und Physik eine ganz entscheidene Rolle.
- Berechne die Skalarprodukte zwischen folgenden Vektoren. Gib an, welche Vektoren orthogonal zueinander sind. \[\vec{u}=\left(\begin{array}{c} -1\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right)\] \[\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 2\\ 0\\ \end{array} \right)\] \[\vec{w}=\left(\begin{array}{c} 1\\ -2\\ 3\\ \end{array} \right)\]
- Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren \[\vec{u}=\left(\begin{array}{c} -4\\ 4\\ 2\\ \end{array} \right)\] \[\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 4\\ 0\\ 3\\ \end{array} \right)\]
- Zeige, dass \[\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\] gilt.
- Das Skalarproduk genauer verstehenGegeben seien zwei Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\). Jeder Vektor \(\vec{v}\) lässt sich in einen zu \(\vec{u}\) parallelen Anteil \(\vec{v}_\parallel\) und einen orthogonalen Anteil \(\vec{v}_\perp\) zerlegen, sodass \[\vec{v}=\vec{v}_\parallel +\vec{v}_\perp\] gilt.
Zeige damit, dass \[\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cos \phi\] gilt. Benutze dafür, dass \[\vec{v}_\parallel=|\vec{v}_\parallel|\cdot\vec{e}_\vec{u}\] und \[\vec{e}_\vec{u}\cdot\vec{e}_\vec{u}=1\] gilt.
Zeige zudem, dass \[\vec{v}_\parallel=(\vec{e}_\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{e}_\vec{u}\] gilt.
Das Skalarprodukt kann also verwendet werden, um Anteile eines Vektors in eine bestimmte Richtung zu berechnen. Dies spielt in der Mathematik und Physik eine ganz entscheidene Rolle.