MATHE → Klasse 11 & 12 → Vektoraddition
Einstieg
Ziel: Die Schüler:innen sollen Vektoroperationen im dreidimensionalen Raum auf meteorologische Phänomene wie den Jetstream angewenden können.
-
Der Jetstream beeinflusst maßgeblich das Wetter auf der Erde. Ebenso werden in der Luftfahrt ganze Flugrouten nach dem Jetstream geplant. Ein Flugzeug von New York nach London schaffte so die Strecke ca. 1h schneller als üblich in 4h56min, mit einer Spitzengeschwindigkeit von 1300km/h.
- Was ist der Jetstream?
- Wie kannst du dir die schnellere Flugreise erklären?
-
Wir betrachten zunächst ein einfaches Beispiel. Ein Papierflugzeug wird mit der Geschwindigkeit
\[\vec{v}=\left(\begin{array}{c}
2\\
0\\
\end{array}
\right)\rm{m}/\rm{s}\]
geworfen. Von der Seite kommt eine Windböhe mit
\[\vec{w}=\left(\begin{array}{c}
0\\
5\\
\end{array}
\right)\rm{m}/\rm{s}.\]
- Gib die Geschwindigkeit des Flugzeuges in Bewegungsrichtung ohne Wind an. Wird das Flugzeug mit Wind schneller werden?
- In welche Richtung müsste sich das Flugzeug mit Wind zu Beginn bewegen?
- Wie viele andere physikalische Größen auch (z.B. Kräfte) addieren sich Geschwindigkeiten:
\[\vec{v}_{ges}=\vec{v}_1+\vec{v_2}\]
Wie könnte so eine Addition von Vektoren im obigen Beispiel aussehen? Brechne die neue Geschwindigkeit des Flugzeuges.
-
Stelle in einer kleinen Übersicht die Addition der Vektoren am obigen Beispiel in einem Koordinatensystem dar und schreibe auch eine allgemeine Rechenregel auf.
-
Ein Flugzeug bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von
\[\vec{v}_F=\left(\begin{array}{c}
500\\
600\\
\end{array}
\right)\rm{km}/\rm{h}\]
in den Jetstream, welcher durch die Geschwindigkeit
\[\vec{v}_J=\left(\begin{array}{c}
150\\
5\\
\end{array}
\right)\rm{km}/\rm{h}\]
beschrieben wird.
- Bestimme die resultierende Geschwindigkeit des Flugzeuges beim Eintritt in den Jetstream.
- Mit welcher Geschwindigkeit müsste das Flugzeug fliegen, damit die resultierende Geschwindigkeit
\[\vec{v}_{ges}=\left(\begin{array}{c}
500\\
50\\
\end{array}
\right)\rm{km}/\rm{h}\]
wäre?
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Der Jetstream beeinflusst maßgeblich das Wetter auf der Erde. Ebenso werden in der Luftfahrt ganze Flugrouten nach dem Jetstream geplant. Ein Flugzeug von New York nach London schaffte so die Strecke ca. 1h schneller als üblich in 4h56min, mit einer Spitzengeschwindigkeit von 1300km/h.
- Was ist der Jetstream?
- Wie kannst du dir die schnellere Flugreise erklären?
-
Wir betrachten zunächst ein einfaches Beispiel. Ein Papierflugzeug wird mit der Geschwindigkeit
\[\vec{v}=\left(\begin{array}{c}
2\\
0\\
\end{array}
\right)\rm{m}/\rm{s}\]
geworfen. Von der Seite kommt eine Windböhe mit
\[\vec{w}=\left(\begin{array}{c}
0\\
5\\
\end{array}
\right)\rm{m}/\rm{s}.\]
- Gib die Geschwindigkeit des Flugzeuges in Bewegungsrichtung ohne Wind an. Wird das Flugzeug mit Wind schneller werden?
- In welche Richtung müsste sich das Flugzeug mit Wind zu Beginn bewegen?
- Wie viele andere physikalische Größen auch (z.B. Kräfte) addieren sich Geschwindigkeiten: \[\vec{v}_{ges}=\vec{v}_1+\vec{v_2}\] Wie könnte so eine Addition von Vektoren im obigen Beispiel aussehen? Brechne die neue Geschwindigkeit des Flugzeuges.
- Stelle in einer kleinen Übersicht die Addition der Vektoren am obigen Beispiel in einem Koordinatensystem dar und schreibe auch eine allgemeine Rechenregel auf.
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Ein Flugzeug bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von
\[\vec{v}_F=\left(\begin{array}{c}
500\\
600\\
\end{array}
\right)\rm{km}/\rm{h}\]
in den Jetstream, welcher durch die Geschwindigkeit
\[\vec{v}_J=\left(\begin{array}{c}
150\\
5\\
\end{array}
\right)\rm{km}/\rm{h}\]
beschrieben wird.
- Bestimme die resultierende Geschwindigkeit des Flugzeuges beim Eintritt in den Jetstream.
- Mit welcher Geschwindigkeit müsste das Flugzeug fliegen, damit die resultierende Geschwindigkeit \[\vec{v}_{ges}=\left(\begin{array}{c} 500\\ 50\\ \end{array} \right)\rm{km}/\rm{h}\] wäre?
Aufgaben
- Gegeben seien die Punkte
\[P(-3|3|2)\quad Q(5|2|-1).\]
Gib die Vektoren an, welche den Kooridnatenursprung auf den Punkt P bzw. Q verschiebt. Gib zudem den Vektor an, welcher den Punkt P auf den Punkt Q verschriebt. Wie hängen diese Vektoren zusammen? Erstelle eine kleine grafische Übersicht.
- Gegeben seien die Vektoren
\[\vec{u}=\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
3\\
\end{array}
\right)\]
\[\vec{v}=\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
1\\
\end{array}
\right)\]
\[\vec{w}=\left(\begin{array}{c}
0\\
2\\
-2\\
\end{array}
\right)\]
Berechne die folgenden Ausdrücke und stelle diese wie in der Aufgabe 1 dar.
- \(\vec{u}+\vec{v}\)
- \(\vec{v}-\vec{u}\)
- \(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}\)
- \(2\vec{u}+\vec{v}\)
- \(0.5\vec{u}-2\vec{v}+\vec{v}\)
- Zeige folgende Rechengesetze:
\[a\cdot (b\cdot \vec{v})=(a\cdot b)\cdot \vec{v}\]
\[a\cdot (\vec{u}+ \vec{v})=a\cdot \vec{u}+a\cdot \vec{v}\]
\[(a+b)\cdot \vec{v}=a\cdot \vec{v}+b\cdot \vec{v}\]
- Gegeben seien die Punkte \[P(-3|3|2)\quad Q(5|2|-1).\] Gib die Vektoren an, welche den Kooridnatenursprung auf den Punkt P bzw. Q verschiebt. Gib zudem den Vektor an, welcher den Punkt P auf den Punkt Q verschriebt. Wie hängen diese Vektoren zusammen? Erstelle eine kleine grafische Übersicht.
- Gegeben seien die Vektoren
\[\vec{u}=\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
3\\
\end{array}
\right)\]
\[\vec{v}=\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
1\\
\end{array}
\right)\]
\[\vec{w}=\left(\begin{array}{c}
0\\
2\\
-2\\
\end{array}
\right)\]
Berechne die folgenden Ausdrücke und stelle diese wie in der Aufgabe 1 dar.
- \(\vec{u}+\vec{v}\)
- \(\vec{v}-\vec{u}\)
- \(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}\)
- \(2\vec{u}+\vec{v}\)
- \(0.5\vec{u}-2\vec{v}+\vec{v}\)
- Zeige folgende Rechengesetze: \[a\cdot (b\cdot \vec{v})=(a\cdot b)\cdot \vec{v}\] \[a\cdot (\vec{u}+ \vec{v})=a\cdot \vec{u}+a\cdot \vec{v}\] \[(a+b)\cdot \vec{v}=a\cdot \vec{v}+b\cdot \vec{v}\]
