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In der folgenden Abbildung ist eine Temperaturmessung für einen Tag in Hamburg im August zu sehen. Leider sind bei der Messung Fehler aufgetreten, weshalb einige Messdaten fehlen. Wir wollen versuchen die Messdaten mithilfe von Interpolation zu rekonstruieren.
Überlege dir zunächst, welche Informationen uns die Abbildung liefert und versuche anschließend einen möglichen Verlauf einzuzeichnen.
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Bestimme die Steigung der Geraden zwischen den Punkten \(P_1\) und \(P_2\), sowie zwischen \(P_5\) und \(P_6\). Warum ist es sinnvoll, dass unsere gesuchte Funktion an den Stellen \(x_2\) und \(x_5\) die selbe Steigung wie die Geraden hat?
Lösung:
Wir lesen zunächst die Koordinaten der Puntke ab:
\[\begin{eqnarray}
&& P_1(11|24)\\
&& P_2(12|23.5)\\
&& P_5(20|17)\\
&& P_6(21|16)\\
\end{eqnarray}\]
Für die Steigung zwischen \(P_1\) und \(P_2\) gilt damit:
\[m_1=\frac{23.5-25}{12-11}=-0.5\]
Für die Steigung zwischen \(P_5\) und \(P_6\) gilt:
\[m_2=\frac{16-17}{21-20}=-1\]
Damit stellen wir folgende Bedingungen an die gesuchte Funktion \(f(x)\):
\[f'(12)=-0.5\]
\[f'(20)=-1\]
Die Steigung gibt hier an, um wie viel °C sich die Temperatur pro Stunde verändert. Würden die Steigungen an diesen Stellen nicht übereinstimmen, so hätte die Temperaturkurve dort einen Knick (siehe Abbildung), d.h. die Temperaturänderung würde sich schlagartig ändern. So ein Ereignis ließe sich lediglich mit starkem Platzregen o.ä. erklären.
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Gib alle weiteren Bedingungen an, die die Funktion auf jeden Fall erfüllen sollte und schreibe sie in der Form
\[f(x_i)=a_i\]
auf.
Lösung:
Damit die gesuchte Funktion auch an den entsprechenden Übergangspunkten der Messwerte anknüpft, müssen folgende Bedingungen an die gesuchte Funktion gestellt werden:
\[f(12)=23.5\]
\[f(20)=17\]
\[f(15)=20\]
\[f(17)=21\]
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Welchen Grad müsste eine ganzrationale Funktion mindestens haben, damit sie zu deinem gezeichneten Verlauf passt?
Lösung:
Der in Aufgabe 1 eingezeichnete Verlauf lässt vermuten, dass eine Funktion 3. Grades ausreichend ist. Da wir jedoch auch Bedingungen an die Steigung an den Randpunkten fordern, sowie insgesamt vier Punkte die auf der Funktion liegen müssen, reicht eine Funktion 3. Grades nicht aus.
Für unsere 6 Bedingungen an die Funktion stellen wir insgesamt ein Gleichungsystem mit 6 Gleichungen auf. Ein Gleichungssystem mit 6 Gleichungen hat hier genau eine Lösung für 6 unbekannte Variablen. Eine Funktion 5. Grades hat genau 6 unbekannte Parameter (\(a,b,c,d,e,g\)):
\[f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+g\]
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Wir probieren den Ansatz
\[f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+g\]
aus. Setze ihn in deine in Aufgabe 2 und 3 aufgestellten Bedingungen ein. Wir erhalten so ein Gleichungssystem mit 6 Gleichungen und 6 unbekannten Variablen \((a,b,c,d,e,g\in\mathbb{R})\).
Lösung:
\[\begin{eqnarray}f(12)&=& a12^5+b12^4+c12^3+d12^2+e12+g\\
&=&248832a+20736b+1728c+144d+12e+g=23.5
\end{eqnarray}\]
Analog folgt:
\[\begin{eqnarray}
f(20)&=& 3200000a+160000b+8000c+400d+20e+g=17\\
f(15)&=& 759375a+50625b+3375c+225d+15e+g=20\\
f(17)&=& 1419857a+83521b+4913c+289d+e+g=21\\
f'(12)&=& 103680a+6912b+432c+24d+e=-0.5\\
f'(20)&=& 800000a+32000b+1200c+40d+e=-1\\
\end{eqnarray}\]
- Stelle für folgende Situationen die Bedingungen auf:
- Die Funktion soll durch den Punkt \((3|7)\) gehen.
- Die Funktion soll an der Stelle \(x_0=4\) einen Hochpunkt besitzen.
- Die Funktion soll an der Stelle \(x_0=3\) den FUnktiosnwert 4 besitzen.
- Die Funktion soll an der Stelle \(x_0=2\) die Funktion \(g(x)=2x^3\) schneiden.
- Die Funktion soll an der Stelle \(x_0=2\) die selbe Steigung wie die Funktion \(g(x)=2x^3\) besitzen.
- Die Funktion soll an der Stelle \(x_0=3\) die Steigung -3 besitzen.
- Wir suchen eine Funktion \(f(x)\), welche knickfrei die beiden vorgegebenen Funktionen
\[\begin{eqnarray}
g(x)&=& 3x,\quad x\in\left[0;3\right]\\
h(x)&=& 0.5x^2-9x+42.5,\quad x\in\left[7;10\right]
\end{eqnarray}\]
verbindet und durch den Punkt \(P_1(5|7)\)geht.
Stelle alle Bedingungen für die Funktion \(f(x)\) auf und gib den daraus resultierenden Grad der Funktion an.
Überlege dir zunächst, welche Informationen uns die Abbildung liefert und versuche anschließend einen möglichen Verlauf einzuzeichnen.
