MATHE → Klasse 11 & 12 → Wiederholung Ableitungen
Einstieg
-
Fertigt einen Vortrag/Präsentation zu einem der vorgegebenen Themen an. Nutzt dafür das beigefügte Material und die Infoboxen auf dieser Seite.
Klicke hier um das interaktive Arbeitsblatt auf einer neuen Seite zu öffnen.
- Mittlere Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate gibt an, um wie viele Einheiten eine Funktion durchschnittlich auf einem vorgegebenen Intervall pro Einheit in \(x\)-Richtung ansteigt bzw. fällt. Allgemein lässt sich die mittlere Änderungsrate wie folgt definieren:
Sei \(f\) eine beliebige Funktion, welche auf dem Intervall \([x_1,x_2]\) definiert ist, dann wird
\[\Delta_f(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]
als Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von \(f\) über \([x_1,x_2]\) gennant.
Häufig wird auch die Intervallbreite \(h\) vorgegeben, sodass
\[\Delta_f(x_1,x_1+h)=\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}\]
der Differenzenquotient von \(f\) über \([x_1,x_1+h]\) ist. Die mittlere Änderungsrate entspricht zudem der Steigung der Sekante durch die durch das Intervall vorgegebenen Punkte auf dem Funktionsgraphen.
- Momentane Änderungsrate
Die momentane Änderungsrate gibt an, um wie viele Einheiten eine Funktion an einer Stelle \(x_1\) pro Einheit in \(x\)-Richtung ansteigt bzw. fällt. Im Gegensatz zur mittleren Änderungsrate liefert die momentane Änderungsrate also nur Informationen über einen infinitesimal kleinen Zeitpunkt. Allgemein lässt sich die momentane Änderungsrate wie folgt definieren:
Sei
\[\Delta_f(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]
der Differenzenquotient von \(f\) über \([x_1,x_2]\). So ist die momentane Änderungsrate oder Ableitung der Funktion \(f\) in \(x_1\) der Grenzwert:
\[f'(x_1)=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\Delta_f(x_1,x_2)=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]
Mit der Intervallbreite \(h\) gilt analog:
\[f'(x_1)=\lim_{h\rightarrow 0}\Delta_f(x_1,x_1+h)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}\]
Die momentane Änderungsrate entspricht zudem der Steigung der Tangente des Funktionsgraphen an der Stelle \(x_1\).
- Ableitung
Unter der Ableitung einer Funktion \(f\) versteht man i.A. eine Funktion \(f'\), welche ausgewertet an einer Stelle \(x_1\) die momentane Änderungsrate der Funktion \(f\) an dieser Stelle liefert. Es ist zunächst jedoch nicht klar, dass es immer so eine Funktion \(f'\) gibt. Daher führt man zunächst den Begriff der Differenzierbarkeit ein. Man sagt eine Funktion ist an einer Stelle \(x_1\) differenzierbar, wenn der Grenzwert
\[f'(x_1)=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\Delta_f(x_1,x_2)=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]
existiert. Eine Funktion ist dann differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle des Definitionsbereiches differenzierbar ist.
Die Ableitung einer Funktion bezieht sich immer auf eine bestimmte Variable nach der abgeleitet wurde. Es empfiehlt sich daher die Leibniz-Notation zu verwenden. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion \(f\) nach \(x\) ist dann
\[f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\lim_{x_2\rightarrow x}\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}.\]
Die Ableitung ist zudem linear, d.h. es gilt:
\[\frac{d(f(x)+g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}\]
und
\[\frac{d(\lambda f(x))}{dx}=\lambda\frac{df(x)}{dx}\]
Weitere häufig auftretende Ableitungen sind:
- \(f(x)=c \quad f'(x)=0\) für \(c=const.\)
- \(f(x)=x^n \quad f'(x)=n\cdot x^{n-1}\) für \(n\in\mathbb{Q}\)
- \(f(x)=\sin(x)\quad f'(x)=\cos(x)\)
- \(f(x)=\cos(x)\quad f'(x)=-\sin(x)\)
- \(f(x)=\exp{x}\quad f'(x)=\exp{x}\)
- \(f(x)=a^x\quad f'(x)=\ln{a} a^x\)
- \(f(x)=\ln{x}\quad f'(x)=\frac{1}{x}\)
- Nullstellen & Extremstellen
Unter den Nullstellen einer Funktion \(f(x)\) versteht man alle Stellen \(x_i\), an denen die Funktion die \(x\)-Achse schneidet oder berührt. Dort gilt dann
\[f(x_i)=0.\]
Für ganzrationale Funktionen gibt der Grad der Funktion (also die höchst auftretende Potenz) die maximale Anzahl an Nullstellen vor. Eine Funktion \(n\)-ten Grades kann maximal \(n\) Nullstellen besitzen.
Im Falle einer ganzrationalen Funktion \(2\)-ten Grades können die Nullstellen analytisch mithilfe der \(pq\)-Formel bestimmt werden. Für die beiden möglichen Nullstellen gilt dann
\[x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]
wobei die quadratische Gleichung in der Normalenform verwendet werden muss:
\[0=x^2+px+q\]
Ab einer Funktion \(3\)-ten Grades führen wir hier keine deterministische Lösungsmethode ein. Häufiges Vorgehen ist das Raten einer Nullstelle oder die Polynomdivision.
Unter einer Extremstelle einer Funktion \(f(x)\) versteht man alle Stellen \(x_i\), an denen die Funktion lokal extremale Werte annimmt (Hochpunkt, Tiefpunkt, Sattelpunkt). Dort gilt dann
\[f'(x_i)=0.\]
Dieses Kriterium wird auch notwendige Bedingung genannt.
Analog zu den Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen gibt es maximal \(n-1\) Extremstellen bei einer Funktion \(n\)-ten Grades.
Desweiteren unterscheidet man zwischen folgenden Arten von Extremstellen:
- Hochpunkt: \(f''(x) < 0 \)
- Tiefpunkt: \(f''(x) > 0 \)
- Sattelpunkt: \(f''(x) = 0 \)
Diese Kriterien werden hinreichende Bedingungen genannt.
Zudem spricht man von einem Berührpunkt wenn die Extremstelle ein Hoch- bzw. Tiefpunkt ist und eine Nullstelle, da so die \(x\)-Achse nicht geschnitten wird.
- Funktionsanalyse
Bei der Funktionsanalyse wird eine Funktion \(f\) hinsichtlich ihrer globalen und lokalen Eigenschaften untersucht, welche wie folgt lauten:
Global
- Definitionsbereich & Wertebereich
Auf welchem Definitionsbereich \(D_f\) (\(\mathbb{R},\mathbb{R}\backslash \lbrace 0\rbrace,\ldots)\), also für welche \(x\)-Werte, ist die Funktion überhaupt definiert?
Welchen Wertebereich \(I_f\) (\(\mathbb{R},\mathbb{R}_+,\ldots\)), also welche \(y\)-Werte, nimmt die Funktion an?
- Symmetrien
Ist die Funktion Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, also gilt
\[f(x)=f(-x) \quad\forall x\in D_f,\]
ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, also gilt
\[f(x)=-f(-x) \quad \forall x\in D_f\]
oder erfüllt die Funktion keine der beiden Symmetrien?
- Verhalten im Unendlichen
Was passiert mit der Funktion, wenn wir uns große \(x\)-Werte anschauen, also für
\[\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\rightarrow ?\]
\[\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)\rightarrow ?.\]
Bei ganzrationalen Funktionen muss hier nur der Term mit der höchsten Potenz betrachtet werden.
Lokal
- Nullstellen
siehe Abschnitt zu Nullstellen
- Extremstellen
siehe Abschnitt zu Extremstellen
- Wendestellen
Wendestellen sind Stellen an denen
\[f''(x_i)=0\]
gilt. Eine Extremstelle, welche diese Bedingung ebenfalls erfüllt wird Sattelpunkt genannt.
- Geradengleichungen bestimmen (Tangentengleichung)
Eine Gerade ist durch genau zwei Punkte definiert. Lauten die Punkte \(P_1(x_1|y_1)\) und \(P_1(x_1|y_1)\), so lässt sich mithilfe der allgemeinen linearen Funktion
\[f(x)=mx+b\]
ein lineares Gleichungsystem aufstellen, mit dessen Hilfe wir die Parameter \(m\) und \(b\) bestimmen können:
\[y_1=mx_1+b\]
\[y_2=mx_2+b\]
Ist die Steigung \(m\) einer solchen Geraden bereits bekannt, so genügt bereits ein Punkt \(P_1(x_1|y_1)\) aus, um die Funktionsgleichung der Geraden (also \(b\)) zu bestimmen:
\[y_1=mx_1+b\]
\[\Leftrightarrow y_1-mx_1=b\]
Ein typsischen Beispiel dafür ist das Aufstellen der Tangentenfunktion \(t(x)=mx+b\) zu einer Stelle \(x_0\) einer Funktion \(h(x)\). In diesem Fall ist
\[m=h'(x_0)\]
und
\[t(x_0)=h(x_0)\]
\[\Leftrightarrow mx_0+b=h(x_0)\]
\[\Leftrightarrow b=h(x_0)-mx_0.\]
Will man zu einer Geraden
\[f(x)=mx+b\]
die Funktionsgleichung der Normalen der Gerade \(n(x)=ax+c\) (Gerade senkrecht zu der Geraden) aufstellen, so ist die Steigung der Normalen:
\[a=\frac{1}{m}\]
-
Fertigt einen Vortrag/Präsentation zu einem der vorgegebenen Themen an. Nutzt dafür das beigefügte Material und die Infoboxen auf dieser Seite.
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- Mittlere ÄnderungsrateDie mittlere Änderungsrate gibt an, um wie viele Einheiten eine Funktion durchschnittlich auf einem vorgegebenen Intervall pro Einheit in \(x\)-Richtung ansteigt bzw. fällt. Allgemein lässt sich die mittlere Änderungsrate wie folgt definieren:
Sei \(f\) eine beliebige Funktion, welche auf dem Intervall \([x_1,x_2]\) definiert ist, dann wird \[\Delta_f(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\] als Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von \(f\) über \([x_1,x_2]\) gennant.Häufig wird auch die Intervallbreite \(h\) vorgegeben, sodass \[\Delta_f(x_1,x_1+h)=\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}\] der Differenzenquotient von \(f\) über \([x_1,x_1+h]\) ist. Die mittlere Änderungsrate entspricht zudem der Steigung der Sekante durch die durch das Intervall vorgegebenen Punkte auf dem Funktionsgraphen.
- Momentane ÄnderungsrateDie momentane Änderungsrate gibt an, um wie viele Einheiten eine Funktion an einer Stelle \(x_1\) pro Einheit in \(x\)-Richtung ansteigt bzw. fällt. Im Gegensatz zur mittleren Änderungsrate liefert die momentane Änderungsrate also nur Informationen über einen infinitesimal kleinen Zeitpunkt. Allgemein lässt sich die momentane Änderungsrate wie folgt definieren:
Sei \[\Delta_f(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\] der Differenzenquotient von \(f\) über \([x_1,x_2]\). So ist die momentane Änderungsrate oder Ableitung der Funktion \(f\) in \(x_1\) der Grenzwert: \[f'(x_1)=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\Delta_f(x_1,x_2)=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]Mit der Intervallbreite \(h\) gilt analog: \[f'(x_1)=\lim_{h\rightarrow 0}\Delta_f(x_1,x_1+h)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}\] Die momentane Änderungsrate entspricht zudem der Steigung der Tangente des Funktionsgraphen an der Stelle \(x_1\).
- AbleitungUnter der Ableitung einer Funktion \(f\) versteht man i.A. eine Funktion \(f'\), welche ausgewertet an einer Stelle \(x_1\) die momentane Änderungsrate der Funktion \(f\) an dieser Stelle liefert. Es ist zunächst jedoch nicht klar, dass es immer so eine Funktion \(f'\) gibt. Daher führt man zunächst den Begriff der Differenzierbarkeit ein. Man sagt eine Funktion ist an einer Stelle \(x_1\) differenzierbar, wenn der Grenzwert \[f'(x_1)=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\Delta_f(x_1,x_2)=\lim_{x_2\rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\] existiert. Eine Funktion ist dann differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle des Definitionsbereiches differenzierbar ist.
Die Ableitung einer Funktion bezieht sich immer auf eine bestimmte Variable nach der abgeleitet wurde. Es empfiehlt sich daher die Leibniz-Notation zu verwenden. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion \(f\) nach \(x\) ist dann \[f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\lim_{x_2\rightarrow x}\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}.\] Die Ableitung ist zudem linear, d.h. es gilt: \[\frac{d(f(x)+g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}\] und \[\frac{d(\lambda f(x))}{dx}=\lambda\frac{df(x)}{dx}\] Weitere häufig auftretende Ableitungen sind:- \(f(x)=c \quad f'(x)=0\) für \(c=const.\)
- \(f(x)=x^n \quad f'(x)=n\cdot x^{n-1}\) für \(n\in\mathbb{Q}\)
- \(f(x)=\sin(x)\quad f'(x)=\cos(x)\)
- \(f(x)=\cos(x)\quad f'(x)=-\sin(x)\)
- \(f(x)=\exp{x}\quad f'(x)=\exp{x}\)
- \(f(x)=a^x\quad f'(x)=\ln{a} a^x\)
- \(f(x)=\ln{x}\quad f'(x)=\frac{1}{x}\)
- Nullstellen & ExtremstellenUnter den Nullstellen einer Funktion \(f(x)\) versteht man alle Stellen \(x_i\), an denen die Funktion die \(x\)-Achse schneidet oder berührt. Dort gilt dann \[f(x_i)=0.\] Für ganzrationale Funktionen gibt der Grad der Funktion (also die höchst auftretende Potenz) die maximale Anzahl an Nullstellen vor. Eine Funktion \(n\)-ten Grades kann maximal \(n\) Nullstellen besitzen. Im Falle einer ganzrationalen Funktion \(2\)-ten Grades können die Nullstellen analytisch mithilfe der \(pq\)-Formel bestimmt werden. Für die beiden möglichen Nullstellen gilt dann \[x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\] wobei die quadratische Gleichung in der Normalenform verwendet werden muss: \[0=x^2+px+q\] Ab einer Funktion \(3\)-ten Grades führen wir hier keine deterministische Lösungsmethode ein. Häufiges Vorgehen ist das Raten einer Nullstelle oder die Polynomdivision.
Unter einer Extremstelle einer Funktion \(f(x)\) versteht man alle Stellen \(x_i\), an denen die Funktion lokal extremale Werte annimmt (Hochpunkt, Tiefpunkt, Sattelpunkt). Dort gilt dann \[f'(x_i)=0.\] Dieses Kriterium wird auch notwendige Bedingung genannt.
Analog zu den Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen gibt es maximal \(n-1\) Extremstellen bei einer Funktion \(n\)-ten Grades.
Desweiteren unterscheidet man zwischen folgenden Arten von Extremstellen:- Hochpunkt: \(f''(x) < 0 \)
- Tiefpunkt: \(f''(x) > 0 \)
- Sattelpunkt: \(f''(x) = 0 \)
Zudem spricht man von einem Berührpunkt wenn die Extremstelle ein Hoch- bzw. Tiefpunkt ist und eine Nullstelle, da so die \(x\)-Achse nicht geschnitten wird.
- FunktionsanalyseBei der Funktionsanalyse wird eine Funktion \(f\) hinsichtlich ihrer globalen und lokalen Eigenschaften untersucht, welche wie folgt lauten:
Global- Definitionsbereich & Wertebereich
Auf welchem Definitionsbereich \(D_f\) (\(\mathbb{R},\mathbb{R}\backslash \lbrace 0\rbrace,\ldots)\), also für welche \(x\)-Werte, ist die Funktion überhaupt definiert?
Welchen Wertebereich \(I_f\) (\(\mathbb{R},\mathbb{R}_+,\ldots\)), also welche \(y\)-Werte, nimmt die Funktion an? - Symmetrien
Ist die Funktion Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, also gilt \[f(x)=f(-x) \quad\forall x\in D_f,\] ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, also gilt \[f(x)=-f(-x) \quad \forall x\in D_f\] oder erfüllt die Funktion keine der beiden Symmetrien? - Verhalten im Unendlichen
Was passiert mit der Funktion, wenn wir uns große \(x\)-Werte anschauen, also für \[\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\rightarrow ?\] \[\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)\rightarrow ?.\] Bei ganzrationalen Funktionen muss hier nur der Term mit der höchsten Potenz betrachtet werden.
- Nullstellen
siehe Abschnitt zu Nullstellen - Extremstellen
siehe Abschnitt zu Extremstellen - Wendestellen
Wendestellen sind Stellen an denen \[f''(x_i)=0\] gilt. Eine Extremstelle, welche diese Bedingung ebenfalls erfüllt wird Sattelpunkt genannt.
- Definitionsbereich & Wertebereich
- Geradengleichungen bestimmen (Tangentengleichung)Eine Gerade ist durch genau zwei Punkte definiert. Lauten die Punkte \(P_1(x_1|y_1)\) und \(P_1(x_1|y_1)\), so lässt sich mithilfe der allgemeinen linearen Funktion \[f(x)=mx+b\] ein lineares Gleichungsystem aufstellen, mit dessen Hilfe wir die Parameter \(m\) und \(b\) bestimmen können: \[y_1=mx_1+b\] \[y_2=mx_2+b\] Ist die Steigung \(m\) einer solchen Geraden bereits bekannt, so genügt bereits ein Punkt \(P_1(x_1|y_1)\) aus, um die Funktionsgleichung der Geraden (also \(b\)) zu bestimmen: \[y_1=mx_1+b\] \[\Leftrightarrow y_1-mx_1=b\] Ein typsischen Beispiel dafür ist das Aufstellen der Tangentenfunktion \(t(x)=mx+b\) zu einer Stelle \(x_0\) einer Funktion \(h(x)\). In diesem Fall ist \[m=h'(x_0)\] und \[t(x_0)=h(x_0)\] \[\Leftrightarrow mx_0+b=h(x_0)\] \[\Leftrightarrow b=h(x_0)-mx_0.\] Will man zu einer Geraden \[f(x)=mx+b\] die Funktionsgleichung der Normalen der Gerade \(n(x)=ax+c\) (Gerade senkrecht zu der Geraden) aufstellen, so ist die Steigung der Normalen: \[a=\frac{1}{m}\]
Aufgaben
- Im Folgenden wollen wir einige für uns im Alltag und auch in der Wissenschaft extrem relevante ganzrationale Funktionen anschauen. Häufig wird die Natur durch eher komplexe Funktionen beschrieben. Für einige von Ihnen ist es jedoch möglich eine Annäherung durch ganzrationale Funktionen mithilfe der sogenannten Taylorreihe durchzuführen.
- Relativistische kinetische Energie mit Masse \(m=70kg\) und kleiner Geschwindigkeit \(v\): \[E_{kin}(v)=\frac{1}{2}\cdot 70\cdot v^2+\frac{3}{8}\cdot 70\cdot a\cdot v^4\]
Untersuche die Funktion einmal für \(a=1\) und für beliebige \(a\), bilde anschließend den Grenzwert \(\lim_{a\rightarrow 0}\) (nur EAN).
- Kleinwinkelnäherung einer harmonsichen Sinusschwingung eines Pendels mit der Periode \(T=5s\) und der maximalen Amplitude von 4cm:
\[y(t)=4\cdot \frac{2\pi}{5}\cdot t-\frac{4}{6}\cdot \left(\frac{2\pi}{5}\right)^3\cdot t^3\]
Untersuche die Funktion und vergleich sie mit der Sinusfunktion
\[y(t)=4\sin\left(\frac{2\pi}{5}t\right)\]
- Berechnung des natürliche Logarithmus:
\[l(x)=2x+\frac{2}{3}x^3\]
Wobei der für \(x\) eingesetzte Wert zwischen \(-1< x < 1\) den Logarithmus
\[l(x)=\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\]
berechnet.
Untersuche die Funktion.
- Eine Softgetränk-Dose soll ein Volumen von 330cm³ fassen. Bestimme die Höhe \(h\) und den Radius \(r\) der Dose so, dass die Dose die kleinst mögliche Oberfläche besitzt.
- Im Folgenden wollen wir einige für uns im Alltag und auch in der Wissenschaft extrem relevante ganzrationale Funktionen anschauen. Häufig wird die Natur durch eher komplexe Funktionen beschrieben. Für einige von Ihnen ist es jedoch möglich eine Annäherung durch ganzrationale Funktionen mithilfe der sogenannten Taylorreihe durchzuführen.
- Relativistische kinetische Energie mit Masse \(m=70kg\) und kleiner Geschwindigkeit \(v\): \[E_{kin}(v)=\frac{1}{2}\cdot 70\cdot v^2+\frac{3}{8}\cdot 70\cdot a\cdot v^4\] Untersuche die Funktion einmal für \(a=1\) und für beliebige \(a\), bilde anschließend den Grenzwert \(\lim_{a\rightarrow 0}\) (nur EAN).
- Kleinwinkelnäherung einer harmonsichen Sinusschwingung eines Pendels mit der Periode \(T=5s\) und der maximalen Amplitude von 4cm: \[y(t)=4\cdot \frac{2\pi}{5}\cdot t-\frac{4}{6}\cdot \left(\frac{2\pi}{5}\right)^3\cdot t^3\] Untersuche die Funktion und vergleich sie mit der Sinusfunktion \[y(t)=4\sin\left(\frac{2\pi}{5}t\right)\]
- Berechnung des natürliche Logarithmus:
\[l(x)=2x+\frac{2}{3}x^3\]
Wobei der für \(x\) eingesetzte Wert zwischen \(-1< x < 1\) den Logarithmus
\[l(x)=\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\]
berechnet.
Untersuche die Funktion.
- Eine Softgetränk-Dose soll ein Volumen von 330cm³ fassen. Bestimme die Höhe \(h\) und den Radius \(r\) der Dose so, dass die Dose die kleinst mögliche Oberfläche besitzt.