MATHE → Klasse 11 & 12 → Skalieren und Normieren

Einstieg

Ziel: Am Ende dieser Einheit könnt ihr Vektoren skalieren und normalisieren und versteht deren Bedeutung in verschiedenen Anwendungsbeispielen.

1. Eine ".svg" ist eine scalable vector graphic. Sie kommt beispielsweise häufig in PDFs vor und ermöglicht es den Leser:innen beliebig an Abbildungen heranzuzoomen und diese immernoch scharf zu sehen. Hier ein Beispiel:
   

   
   Hast du eine Idee, wie man soetwas mithilfe von Vektoren umsetzen kann, z.B. ein Rechteck?
2. Bei einer .svg kann man sich vorstellen, dass ein Rechteck durch einen Ansatzpunkt \(P\) und zwei Spannvektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{u}\) vorgegeben wird. Das Programm, welches die Datei auslesen kann, berechnet anschließend die Form des Rechtecks. Wir betrachten folgendes Beispiel:
   
   \[P(0|0)\] \[\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 2\\ 0\\ \end{array} \right)\] \[\vec{w}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 5\\ \end{array} \right)\]
   1. Das Rechteck soll um den Faktor 1.2 vergrößert werden, der Eckpunkt soll sich jedoch nicht verändern. Wie verändern sich die die Angaben zu dem Rechteck?
   2. Übertrage deine Erkenntnisse, in dem du folgendes Rechteck um den Faktor 2 streckst: \[P(0|0)\] \[\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ \end{array} \right)\] \[\vec{w}=\left(\begin{array}{c} -2\\ 1\\ \end{array} \right)\]
3. Besprecht in kleinen Gruppen, was es bedeutet, einen Vektor zu skalieren. Erstellt eine kleine Übersicht. Die Übersicht soll anschließend präsentiert werden. Geht insbesondere auf die Länge des skalierten Vektors ein.
4. Gegeben sei der Vektor \[\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2\\ 3\\ 4\\ \end{array} \right).\] Überlegt, wie man mithilfe von Skalierung einen Vektor in die selbe Richtung wie \(\vec{a}\) mit der Länge 1 bekommen kann. Formuliert anschließend ein entsprechendes Vorgehen für beliebige Vektoren \[\vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{array} \right).\]
5. Die Geschwindigkeit eines Flugzeuges wird durch den Vektor \[\vec{v}_1=\left( \begin{array}{c} 120\\ 200\\ 345\\ \end{array} \right)\frac{km}{h}\] auf einem Radar angegeben.
   
   1. Berechne die Geschwindigkeit des Flugzeuges in Flugrichtung.
   2. Das Flugzeug soll seine Geschwindigkeit um 10 % verringern, da es sonst mit einem anderen Flugzeug kollidiert. Gib den neuen Geschwindigkeitsvektor an.
   3. Dem Flugzeug kommt auf der exakt selben Flugbahn ein anderen Flugzeug mit einer Geschwindigkeit von 800 km/h entgegen. Bestimme den Geschwindigkeitvektor des anderen Flugzeuges.

Aufgaben

1. Berechne die Länge folgender Vektoren
   1. Skaliere den Vektor \[\vec{a}=\left( \begin{array}{c} -2\\ 4\\ \end{array} \right)\] mit dem Faktor 2.
   2. Skaliere den Vektor \[\vec{b}=\left( \begin{array}{c} -2\\ 4\\ 12\\ \end{array} \right)\] mit dem Faktor -3.
   3. Normiere den Vektor \[\vec{c}=\left( \begin{array}{c} 3\\ -2\\ 4\\ \end{array} \right).\]
   Wählt eine der Aufgaben auf und schreibt sie so auf, dass ihr diese präsentieren könnt.