MATHE → Klasse 11 & 12 → Länge eines Vektors
Einstieg
Ziel: Am Ende dieser Einheit kannst du die Länge (den Betrag) eines Vektors berechnen und verstehst die praktische Bedeutung dieser Größe in verschiedenen Kontexten.
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Herr Köhler will mit einem Gummiband eine Krampe in den Mülleimer schießen und anschließend herausfinden mit welcher Geschwindigkeit die Krampe dafür fliegen musste.
- Wie könnte ihm das gelingen? Überlege dir kurz, welche Informationen man benötigt um die Geschwindigkeit der Krampe zu berechnen.
-
Zeichne auf ein Blatt Papier den Vektor (einen Repräsentanten)
\[\vec{a}=\left(
\begin{array}{c}
2\\
3\\
\end{array}
\right)\]
- Wie könntest du ohne eine vorgegebene Formel die Länge dieses Vektors bestimmen? Tipp: Denke an den Satz des Pythagoras.
- Tausche dich mit deinen Mitschüler:innen über deine Methode aus. Habt ihr ähnliche Ansätze verwendet?
-
Für die Länge eines Vektors im dreidimensionalen Raum gilt
\[\vec{v}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\]
Zeichne exemplarisch den Vektor
\[\vec{a}=\left(
\begin{array}{c}
2\\
3\\
4\\
\end{array}
\right)\]
in ein Koordinatensystem und bestätige damit die Formel. Erstelle anschließend ein Poster (DinA4), das erklärt, wie man die Länge eines Vektors bestimmt. Nutze einfache Sprache und Visualisierungen, sodass auch jemand ohne Vorkenntnisse es verstehen kann.
-
Ein Auto bewegt sich 3 km nach Osten und dann 4 km nach Norden. Nutze die Vektorlänge, um die direkte Entfernung vom Startpunkt zum Endpunkt zu bestimmen.
- Überlege dir ein eigenes Beispiel aus dem Alltag im dreidimensionalen Raum, bei dem die Berechnung einer Vektorlänge nützlich sein könnte. Beschreibe das Problem und führe die Berechnung durch.
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Herr Köhler will mit einem Gummiband eine Krampe in den Mülleimer schießen und anschließend herausfinden mit welcher Geschwindigkeit die Krampe dafür fliegen musste.
- Wie könnte ihm das gelingen? Überlege dir kurz, welche Informationen man benötigt um die Geschwindigkeit der Krampe zu berechnen.
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Zeichne auf ein Blatt Papier den Vektor (einen Repräsentanten)
\[\vec{a}=\left(
\begin{array}{c}
2\\
3\\
\end{array}
\right)\]
- Wie könntest du ohne eine vorgegebene Formel die Länge dieses Vektors bestimmen? Tipp: Denke an den Satz des Pythagoras.
- Tausche dich mit deinen Mitschüler:innen über deine Methode aus. Habt ihr ähnliche Ansätze verwendet?
- Für die Länge eines Vektors im dreidimensionalen Raum gilt \[\vec{v}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\] Zeichne exemplarisch den Vektor \[\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2\\ 3\\ 4\\ \end{array} \right)\] in ein Koordinatensystem und bestätige damit die Formel. Erstelle anschließend ein Poster (DinA4), das erklärt, wie man die Länge eines Vektors bestimmt. Nutze einfache Sprache und Visualisierungen, sodass auch jemand ohne Vorkenntnisse es verstehen kann.
- Ein Auto bewegt sich 3 km nach Osten und dann 4 km nach Norden. Nutze die Vektorlänge, um die direkte Entfernung vom Startpunkt zum Endpunkt zu bestimmen.
- Überlege dir ein eigenes Beispiel aus dem Alltag im dreidimensionalen Raum, bei dem die Berechnung einer Vektorlänge nützlich sein könnte. Beschreibe das Problem und führe die Berechnung durch.
Aufgaben
- Berechne die Länge folgender Vektoren
- \[\vec{a}=\left(
\begin{array}{c}
-2\\
4\\
\end{array}
\right)\]
- \[\vec{b}=\left(
\begin{array}{c}
-2\\
4\\
12\\
\end{array}
\right)\]
- \[\vec{c}=\left(
\begin{array}{c}
3\\
-2\\
4\\
\end{array}
\right)\]
-
Ein Ball wird mit einer Geschwindigkeit, die durch den Vektor
\[\vec{v}=\left(
\begin{array}{c}
2\\
3\\
-4\\
\end{array}
\right)\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]
beschrieben wird, geworfen. Berechne die Geschwindigkeit des Balls.
-
Löst das Anfangsproblem von Herrn Köhler. Hast du eine Idee, welcher Vektor die Geschwindigkeit beschreibt?
-
Berechne die Länge des Vektoren
\[\vec{r}=\left(
\begin{array}{c}
\sin \theta \cos \phi\\
\sin \theta \sin \phi\\
\cos \theta\\
\end{array}
\right)\]
Was beschreiben diese Vektoren, wenn man sie an den Koordinatenursprung ansetzt?
- Berechne die Länge folgender Vektoren
- \[\vec{a}=\left( \begin{array}{c} -2\\ 4\\ \end{array} \right)\]
- \[\vec{b}=\left( \begin{array}{c} -2\\ 4\\ 12\\ \end{array} \right)\]
- \[\vec{c}=\left( \begin{array}{c} 3\\ -2\\ 4\\ \end{array} \right)\]
- Ein Ball wird mit einer Geschwindigkeit, die durch den Vektor \[\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2\\ 3\\ -4\\ \end{array} \right)\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\] beschrieben wird, geworfen. Berechne die Geschwindigkeit des Balls.
- Löst das Anfangsproblem von Herrn Köhler. Hast du eine Idee, welcher Vektor die Geschwindigkeit beschreibt?
- Berechne die Länge des Vektoren \[\vec{r}=\left( \begin{array}{c} \sin \theta \cos \phi\\ \sin \theta \sin \phi\\ \cos \theta\\ \end{array} \right)\] Was beschreiben diese Vektoren, wenn man sie an den Koordinatenursprung ansetzt?