MATHE → Klasse 11 & 12 → Koordinaten im dreidimensionalen Raum

Einstieg

1. Um von Hamburg nach Amsterdam zu kommen, muss man 100 km in südliche Richtung gehen und anschließend 650 km in westliche Richtung gehen.
   1. Zeichne Hamburg und Amsterdam in ein Koordinatensystem ein und gibt die Koordinaten an.
   2. Ist die Darstellung eindeutig?
   3. Über Amsterdam in 100 km Höhe soll die ISS liegen. Erstelle eine perpektivisch/räumlich akkurate Zeichnung von den Koordinaten von Hamburg, Amsterdam und der ISS.
   4. Welche Probeleme ergeben sich bei dieser Zeichnung?
   5. Wie würdest du die Koordinaten der ISS angeben?

Wissen

Im dreidimensionalen Raum ordnet man jedem Punkt \(P\) drei Koordinaten zu \[P(x|y|z)\] oder \[P(x_1|x_2|x_3).\] Punkte im dreidimensionalen Raum können in einem sogenannten kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden:

Im kartesischen Koordinatensystem spannen die Koordinatenachsen Ebenen auf. Beispielsweise heißt die von der \(x\)- und \(y\)-Achse aufgespannte Ebene \(xy\)-Ebene.


Anmerkung: Ein kartesischen Koordinatensystem zeichnet man eine der drei Koordinatenachsen perspektivisch nach hinten. Man hat sich darauf geeinigt diese Achse diagonal entlang der Kästchen zu zeichnen. Damit bei den gezeichneten Punkten ein räumlicher Eindruck entsteht, muss eine diagonale Kästchenlänge zwei Kästchenbreiten im Maßstab entsprechen.
Da letztendlich das karthesische Koordinatensystem nur als Projektion auf eine zweidimensionale Ebene gezeichnet werden kann, lassen sich einige Punkte unterschiedlicher Koordinaten nicht unterscheiden.

Aufgaben

1. Zeichne folgende Punkte in einem kartesischen koordinatensystem ein: \[A(0|0|0)\;B(2|0|0)\;C(0|2|0)\;D(2|2|0)\] \[E(0.5|0.5|1)\;F(1.5|0.5|1)\;G(0.5|1.5|1)\;H(1.5|1.5|1)\] Was für ein geometrisches Objekt erhält man, wenn man die Eckpunkte geeignet verbindet?
2. Gib die Koordinaten aller Punkte an, welche in ...
   1. ... der \(xy\)-Ebene liegen.
   2. ... der \(zy\)-Ebene liegen.
   3. ... der \(xz\)-Ebene liegen.
   4. ... einer Ebene paralell zur \(xy\)-Ebene liegen und zu dieser den Abstand 3 haben.
3. Wo liegen die Punkte, deren \(x\)-Koordinate -4 ist und die anderen Koordinaten beliebig sind?
4. Wo liegen die Punkte, deren \(x\)-Koordinate gleich der \(y\)-Koordinate ist und die \(z\)-Koordinate 0 ist?
5. Zeichne eine quadratische Pyramide mit Höhe 3 m und Grundseitenlänge 5 m. Gib die Koordinaten der Eckpunkte, sowie die des Mittelpunktes der Grundfläche.