MATHE → Klasse 11 & 12 → Integral und Flächeninhalt

Einstieg

1. In den vier abgebildeten Situationen soll der markierte Flächeninhalt berechnet werden.
   
   1. Stelle allgemeine Ausdrücke zur Berechnung der Flächeninhalte auf.
2. In den vier abgebildeten Situationen soll der markierte Flächeninhalt berechnet werden.
   
   1. Stelle allgemeine Ausdrücke zur Berechnung der Flächeninhalte auf.
   2. Was muss bei der rechten Abbildung zuvor bestimmt werden, wenn \(m_i\) nicht bekannt ist?
3. Erkläre anhand der Abbildung, dass \[A_1+A_2+A_3=\int_a^b|f(x)|dx\] gilt.
   
4. Der Flächeninhalt zwischen zwei beliebigen Funktionen kann ganz einfach mithilfe des Betrags der beiden Funktionen berechnet werden: \[A_{ges}=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx\]
   
   1. Erläutere zunächst, warum \[|f(x)-g(x)|\] den Abstand zwischen den Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) liefert (Tipp: Zahlenstrahl).
   2. Erläutere mithilfe des Grundprinzips der Integration (aufsummieren von Rechtecken), dass \[A_{ges}=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx\] gilt.

Wissen

Beim Berechnen von (nicht orientierten) Flächeninhalten unter Funktionen und zwischen Funktionen muss der Vorzeichenwechsel der Funktionen an ihren Nullstellen, sowie die Schnittpunkte zwischen den Funktionen betrücksichtigt werden.
Dies kann jedoch geschickt mithilfe der Betragsfunktion umgangen werden. Dann gilt nämlich für den Flächeninhalt zwischen der Funktion \(f(x)\) und der \(x\)-Achse: \[A=\int_a^b|f(x)|dx\] bzw. für den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\): \[A=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx\]

Aufgaben

1. Berechne den Flächeninhalt zwischen der \(x\)-Achse und der Funktion \[f(x)=3x^3-2x\] im Intervall \([-1.5,1]\). Überprüfe das Ergebnis mithilfe der Betragsfunktion.
2. Berechne den Flächeninhalt zwischen den Funktionen \[f(x)=3x^3-2x\] und \[g(x)=0.1x^2+0.2\] im Intervall \([-1,0]\). Überprüfe das Ergebnis mithilfe der Betragsfunktion. Hinweis: Nutze Geogebra um dir einen Überblich über die Funktionen zu verschaffen.