MATHE → Klasse 11 & 12 → Hauptsatz der Integral & Differentialrechnung

Einstieg

1. In den vergangenen Sektionen haben wir bereits eine Reihe an Integralen kennen gelernt, häufig ging des dabei um den bestand einer Änderungsrate:
   1. Änderungsrate: Geschwindigkeit eines Autos
      (bspw.: \(v(t)=3t\))
      Bestand: Zurückgelegte Strecke
      (bspw.: \(\int_0^kv(t)dt=\frac{1}{2}v(k)\cdot k=\frac{3}{2}k^2\) FI Dreieck)
   2. Änderungsrate: Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes
      (bspw.: \(f(x)=x^2\))
      Bestand: Zugewonnene Höhe des Baums
      (bspw.: \(\int_0^kf(x)dx=\frac{1}{3}k^3\))
   Welche Zusammenhänge lassen sich hier erkennen?
2. Wir betrachten noch weiter folgendes Beispiel:
   Geschwindigkeit eines Autos: \[v(t)=3t\] Zurückgelegte Strecke: \[s(k)=\int_0^kv(t)dt=\frac{1}{2}v(k)\cdot k=\frac{3}{2}k^2\]
   1. Wie müsste die Funktion s(k) angepasst werden, damit berücksichtigt wird, das das Auto zum Zeitpunkt \(k=0\) bereits die Strecke \(c\) zurückgelegt hat?

Stammfunktion

Eine Funktion \(F(x)\) heißt Stammfunktion einer Funktion \(f(x)\) über dem Intervall \(I\), wenn für alle \(x\in I\) \[F'(x)=f(x)\] gilt.
Wir können uns vorstellen, das so eine Stammfunktion den Bestand zu einer Änderungsrate \(f(x)\) zu einem beliebigen Zeitpunkt \(x\) beschreibt.
Da beim Ableiten additive Konstanten wegfallen, ist die Stammfunktion einer Funktion nicht eindeutig. Es gibt also weitere Stammfunktionen \[G(x)=F(x)+c,\quad c\in \mathbb{R},\] da \[F'(x)=G'(x)=f(x)\] gilt.

Hauptsatz der Integral- & Differentialrechnung

Für eine stetige Funktion \(f(x)\) auf dem Intervall \([a;b]\) gilt: \[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\] wobei \(F(x)\) eine beliebige Stammfunktion von \(f(x)\) über \([a;b]\) ist.

Anmerkungen: Im Allgemeinen gilt nicht \[F(0)=0\] bzw. \[F(x)=\int_0^xf(t)dt,\] da die Stammfunktion \(F(x)\) unbestimmt bis auf eine Konstante ist. Daher lässt sich aber auch eine Stammfunktion \(G(x)=F(x)+c\) mit \(G(0)=0\) finden. Es spielt für die Integration jedoch keine Rolle, welche dieser Stammfunktionen man verwendet, da die Konstante wegen \[G(b)-G(a)=F(b)+c-F(a)-c=F(b)-F(a)\] immer wegfällt.

Aufgaben

1. Stammfunktion finden ("Aufleiten")
   Damit \(F(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x)\) ist, muss \[F'(x)=f(x)\] gelten.
   Bspw. ist \(F(x)=x^5+x\) eine Stammfunktion von \(f(x)=5x^4+1\), da \[F'(x)=5x^4+1\] gilt.
   Häufig spricht man dabei vom sogenannten "Aufleiten".
   1. Stelle eine Regel zum Aufleiten von Funktionen der Form \[f(x)=ax^n\] auf.
   2. Wie kann man alle Stammfunktionen von \(f(x)=ax^n\) angeben?
2. Die Wachstumsgeschwindigkeit eines Menschen kann vom 0. bis zum 18. Lebensjahr durch folgende Funktion modelliert werden: \[f(x)=\begin{cases} 0.0012x^2 & x\leq 16 \\ -0.1x+1.8 & x\in (16;18] \end{cases}\] Wobei \(f(x)\) die Wachstumsgeschwindigkeit in Meter pro Jahr angibt.
   1. Beschreibe den Verlauf der Wachstumsgeschwindigkeit und der Größe des Menschen.
   2. Bestimme die Höhe eines Menschen nach 18 Jahren.