MATHE → Klasse 11 & 12 → Das Integral

Einstieg

1. Wir haben bereits im letzten Kapitel gesehen, dass der Bestand \(A\) einer Funktion \(f(x)\) über dem Intervall \([a,b]\) durch die Unter- bzw. Obersumme perfekt angenähert wird, wenn wir die entsprechende Fläche unter der Funktion in unendlich viele Rechtecke unterteilen. Dann gilt: \[\lim_{n\mapsto \infty}O_n=\lim_{n\mapsto \infty}U_n=A\] Dieser Bestand \(A\) heißt Integral der Funktion \(f(x)\) über \([a,b]\).
   Um die Annäherung des Besandes über eine Summe aus unendlichen vielen, unendlich dünnen Rechtecken deutlich zu machen, wird eine neue Schreibweise eingeführt. Dafür wird der Term für die Unter- bzw. Obersumme umgeschrieben:
   
   Hierbei helfen folgende Vorstellungen:
   1. Die Summe aus endlich vielen Rechecken wird zu einer unendlich großen Summe durch Bilden des Grenzwertes.
   2. Die Breite jedes Rechtecks wird durch das Bilden des Grenzwertes unendlich klein.
   3. An jeder Stelle \(x\) gibt es ein unendlich schmales Rechteck mit der Höhe \(f(x)\).

Wissen

Als Integral einer Funktion \(f(x)\) über dem Intervall \([a,b]\) versteht man die Zahl \(A\) mit \[A=\int_a^bf(x) dx=\lim_{n\infty}O_n=\lim_{n\infty}U_n\] Die Zahl \(A\) ist dabei häufig im Sachzusammenhang ein Bestand zu einer Änderungsrate. Anschaulich berechnet man den orientierten Flächeninhalt zwischen der Funktion \(f(x)\) und der x-Achse, d.h. das Flächen unterhalb der x-Achse einen negativen Flächeninhalt haben.

Aufgaben

1. Nähere das Integral mithilfe von Ober und Untersumme für \(n=3\) Rechtecke.
   1. \(\int_2^63x^2dx\)
   2. \(\int_0^4x^3-1dx\)
2. Gib an, ob das Integral positiv oder negativ oder 0 ist.
   1. \(\int_{-4}^4x^2 dx\)
   2. \(\int_{-4}^2x^3dx\)
   3. \(\int_{-\infty}^\infty x^5dx\)
3. Skizziere die Integrale.
   1. \(\int_{1}^3 (x-2)^2+1dx\)
   2. \(\int_{-2}^2y^2 dy\)
   3. \(\int_{-2}^{1}f(x)dx=8\)