MATHE → Klasse 11 & 12 → Änderungsrate & Bestand

Einstieg

1. Der folgende Graph zeigt den Geschwindigkeitsverlauf einer Autofahrt. Wie könnte man dessen zurückgelegte Strecke bestimmen?
   
2. Ein Auto fährt mit der konstanten Geschwindigkeit \(v\). Stelle graphisch dar, wie die zurückgelegte Strecke innerhalb der Zeit \(t_1\) berechnet werden kann.
3. Ein Auto beschleunigt gleichmäßig, sodass dessen Geschwindigkeit durch die Funktion \(v(t)=3t\) beschrieben wird.
   
   1. Erkläre mithilfe der Abbildung, warum die innerhalb der Zeit \(t_1\) zurückgelegte Strecke \(s(t_1)\) durch den Flächeninhalkt des Dreiecks und der Geraden gegeben ist.
   2. Bestimme die Zurückgelegte Strecke nach \(t=12\), \(t=14\), sowie im Intervall \(\left[12;14\right]\).
4. Im Haushalt werden Wasserzähler verwendet um den Wasserverbrauch im Haus zu messen. Fließt Wasser durch den Wasserzähler, rotiert das dort befindliche Rad. Die Geschwindigkeit mit der das Rad rotiert, lässt sich direkt übersetzen in die Durchflussmenge an Wasser in Litern pro Minute.
   In folgendem Graph wurde für einen Haushalt die Zuflussmenge und Abflussmenge an Wasser in Liter pro Minute an einem Spülkasten einer handelsüblichen Keramik gemessen. Zu Beginn befinden sich 0 L im Spülkasten.
   
   1. Beschreibe die Vorgänge in der Abbildung im Sachzusammenhang.
   2. Bestimme die Wassermenge im Spülkasten nach 10 min.
   3. Bestimme die Wassermenge im Spülkasten nach 15 min.
   4. Bestimme den Wasserumsatz zwischen 10 min und 15 min.
5. Fasse die Ergebnisse aus Einstiegsaufgabe 1, 2, 3 und 4 kurz zusammen. Gehe dabei darauf ein, welche Bedeutung die Begriffe "Änderung" und "Bestand" haben und wie sie zusammenhängen.
Wissen

Die Änderungsrate haben wir bereits als Ableitung einer Funktion \(f(x)\) kennengelernt. Ist die Änderungsrate bekannt, so lässt sich hieraus der Bestand für ein vorgegebenes Intervall rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt unter der Änderungsrate bestimmt.
Unter dem orientierten Flächeninhalt versteht man dabei, dass den Flächenstücken im negativen Wertebereich ein negativen Vorzeichen gegeben wird.
Beispiele:


1. Änderungsrate: Geschwindigkeit -> Bestand: Zurückgelegte Strecke
2. Änderungsrate: Zufluss von Wasser pro Minute in ein Becken -> Bestand: Momentane Wassermenge im Becken

Aufgaben

1. Formuliere zwei eigene Beispiele in denen Änderungsrate und Bestand auftreten.