MATHE → Klasse 11 & 12 → Produktregel

Einstieg

1. Beim Thema Kettenregel haben wir bereits die Ableitung der Funktion \[f(x)=\sin(280x^2+2700x)\] \[f'(x)=560x\cos(280x^2+2700x)\] bestimmt.
   Herr Köhler schlägt folgende zweite Ableitung vor: \[f''(x)=-560^2x^2\sin(280x^2+2700x)\] Warum kann dies nicht richtig sein?
Produkte von Funktionen

Neben verketteten Funktionentreten in der Mathematik auch Produkte von Funktionen auf: \[f(x)=u(x)\cdot v(x).\] Auch solche Funktionen können nicht nach den bisher bekannten Ableitungsvorschriften abgeleitet werden!
Beispiele:
\[f(x)=560x\cos(280x^2+2700x),\quad u(x)=560x,\quad v(x)=\cos(280x^2+2700x)\] \[f(x)=x\sqrt{2x},\quad u(x)=x,\quad v(x)=\sqrt{2x}\] \[f(x)=\sin(x)\cos(x),\quad u(x)=\sin(x),\quad v(x)=\cos(x)\] Auch Produkte von Funktionen können noch weiter verknüpft werden.

2. Gib von folgenden Funktionen die beiden Funktion des Produktes an:
   1. \(f(x)=2x^2\sin(2\cos(x))\)
   2. \(f(x)=2^{x^2\cos(x)}\cos(x)\)
   3. \(f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
   4. \(f(x)=\frac{2x^2}{2^x}\)
3. Hinführung zur Produktregel auf zwei Wegen
   Variante 1:
   Die folgende Tabelle zeigt einige Produkte von Funktionen und ihre korrekten Ableitungen. Finde ein Schema. Wie setzt sich die Ableitung aus den Ableitungen der Funktionen im Produkt zusammen? \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline f(x) & u(x) & v(x) & u'(x) & v'(x) & f'(x)\\ \hline \hline 2x\sin(x)& & & & & 2\sin(x)+2x\cos(x)\\ \hline (2x+1)x^2& & & & & -\\ \hline \sqrt{x}x& & & & & \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}x+\sqrt{x}\\ \hline \frac{x^2}{\sin{x}}& & & & & 2x\sin^{-1}(x)-x^2\sin^{-2}(x)\cos(x)\\ \hline \end{array} \] Variante 2:
   Orientiere dich für die Herleitung an der Herleitung für die Kettenregel.
   1. Stelle den Ausdruck für den Differenzenquotienten für alle drei Funktionen auf.
   2. Formuliere den Differenzenquotienten des Produktes der Funktion mithilfe der Differenzenquotienten beider Funktionen im Produkt, indem du geschickt ausklammerst. Zudem musst du im Zähler des Differenzenquotienten den Term \[-u(x)v(x_0)+u(x)v(x_0)\] ergänzen.
   3. Für den Grenzwert vom Produkt zweier Funktionen gilt: \[\lim_{x_0\mapsto x}f(x,x_0)g(x,x_0)=\lim_{x_0\mapsto x}f(x,x_0)\lim_{x_0\mapsto x}g(x,x_0)\] Zeige damit, dass gilt: \[f'(x)=v'(x)u(x)+u'(x)v(x)\]
Produktregel

Zum Ableiten von Produkten von Funktionen der Form \[f(x)=u(x)v(x)\] muss man die Produktregel verwenden: \[f'(x)=v'(x)u(x)+u'(x)v(x)\] Beispiel:
\[\begin{eqnarray} f(x) & = & x\sin(x)\\ u(x) &=& x, \quad u'(x) = 1\\ v(x) &=& \sin(x), \quad v'(x)= \cos(x)\\ f'(x) & = & v'(x)u(x) +u'(x)v(x) = \sin(x)+x\cos(x) \end{eqnarray}\]

Herleitung Produktregel

Gegeben sei eine Funktion \[f(x)=u(x)v(x)\] Für die Ableitung von \(f'(x)\) gilt mit dem Differenzenquotienten: \[\begin{eqnarray} f'(x)&=&\lim_{x_0\mapsto x}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=&\lim_{x_0\mapsto x}\frac{u(x)v(x)-u(x_0)v(x_0)}{x-x_0}\\ &=&\lim_{x_0\mapsto x}\frac{u(x)v(x)-u(x)v(x_0)+u(x)v(x_0)-u(x_0)v(x_0)}{x-x_0}\\ &=&\lim_{x_0\mapsto x}\frac{u(x)(v(x)-v(x_0))+v(x_0)(u(x)-u(x_0))}{x-x_0}\\ &=&\lim_{x_0\mapsto x}\left[u(x)\frac{(v(x)-v(x_0))}{x-x_0}+v(x_0)\frac{(u(x)-u(x_0))}{x-x_0}\right]\\ \end{eqnarray}\] Unter der Vorraussetzung, dass für den Grenzwert vom Produkt zweier Funktionen gilt \[\lim_{x_0\mapsto x}f(x,x_0)g(x,x_0)=\lim_{x_0\mapsto x}f(x,x_0)\lim_{x_0\mapsto x}g(x,x_0),\] folgt: \[\begin{eqnarray} f'(x)&=&\lim_{x_0\mapsto x}\left[u(x)\frac{(v(x)-v(x_0))}{x-x_0}+v(x_0)\frac{(u(x)-u(x_0))}{x-x_0}\right]\\ &=&\lim_{x_0\mapsto x}u(x)\lim_{x_0\mapsto x}\frac{(v(x)-v(x_0))}{x-x_0}+\lim_{x_0\mapsto x}v(x_0)\lim_{x_0\mapsto x}\frac{(u(x)-u(x_0))}{x-x_0}\\ &=& u(x)v'(x)+v(x)u'(x) \end{eqnarray}\] Voraussetzung dafür ist zudem, dass beide Funktionen im vorgegebenen Bereich differenzierbar sind.

Aufgaben

1. Bestimme die Ableitungen. Gib dafür die beiden Funktionen im Produkt sowie deren Ableitungen an.
   1. \(f(x)=2x^2\cdot \cos(x)\)
   2. \(f(x)=x\sin(x^2)\)
   3. \(f(x)=(2x^2-x)x^{\frac{2}{3}}\)
   4. \(f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\)
   5. \(f(x)=\sqrt{2x^3-x}\cos(-2x)\)
   6. \(f(x)=\frac{-\cos(x)\sin(x)}{2}-\frac{x}{2}\)
   7. \(f(x)=\sin(x)\cos(x)x\)
2. In der Literatur findet man häufig neben der Produkt- und der Kettenregel die sogenannte Quotientenregel: \[f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\] \[f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{v^2(x)}\] Leite den Ausdruck mithilfe der Produkt und Kettenregel her.
3. Die gesamtwirtschaftliche Lage eines Landes wird durch die sogenannte Konjunktur beschrieben. Üblicherweise besteht die Konjunktur aus periodisch wiederkehrenden Aufschwungphasen (Expansion) und Abschwungphasen (Rezession). Dabei ist es erstrebenswert, dass die Konjunktur über eine Periode hinweg ingesamt jedoch steigt. Die Konjunktur in Deutschland kann durch folgende Funktion beschrieben werden: \[f(x)=\sin(1.37x)+1.29x+10\] Der Funktionswert gibt dabei an, wie sehr sich das BIP in Deutschland im Vergleich zu 2015(100%) ab 1950 erhöht bzw. verringert hat.
   1. Plotte die Funktion.
   2. Gib den Wert der Konjunktur für 1973 an.
   3. Bestimme den niedrigsten Wert der Konjunktur zwischen 1970 und 1972.