MATHE → Klasse 11 & 12 → Kettenregel

Einstieg

1. In der Physik treten häufig Funktionen auf, welche von der Form \[f(x)=\sin(ax)\] sind. Diese beschreiben sogenannte harmonische Schwingungen eines Pendelkörpers. Um die Geschwindigkeit des Pendelkörpers zu bestimmen benötigt man die Ableitung solcher Funktionen.
   Wir betrachten zunächst nur \[f(x)=\sin (10x),\] was wäre für dich intuitiv \(f'(x)\)?
2. Um deine Hypothese aus Einstiegsaufgabe 1 zu überprüfen kannst du den Differenzenquotienten benutzen.
   
   1. Bestimme \(f'(0)\).
   2. Bestimme \[\frac{f(0.1)-f(-0.1)}{0.2}\] und vergleiche das Ergebnis mit dem Wert aus der Ableitung.
   3. Warum kann ich genau diesen Differenzenquotienten mit der Ableitung an der Stelle 0 vergleichen?
3. Bestimme die Ableitung der Funktion \[f(x)=\sqrt{2x}.\] Wende zuvor die Potenzgesetze an. Was fällt dir auf?
4. Die hier gezeigten Funktionen werden verkettete Funktionen genannt. D.h. das in einer Funktion eine weitere Funktion auftritt.
   Im Falle von \[f(x)=\sin(10x)\] ist \(\sin()\) die äußere Funktion und die lineare Funktion \(10x\) die innere Funktion.
   Im Falle von \[f(x)=\sqrt{2x}\] ist \(\sqrt{}\) die äußere Funktion und die lineare Funktion \(2x\) die innere Funktion.
   
Verkettete Funktionen

Bei verketteten Funktionen handelt es sich um Funktionen der Form \[f(x)=u(v(x)).\] Es gibt also eine äußere Funktion \[u(v)\] welche anstelle direkt von der Variable \(x\) von einer Funktion von \(x\), die innere Funktion \[v(x),\] abhängt. Solche Funktionen können nicht nach den bisher bekannten Ableitungsvorschriften abgeleitet werden!
Beispiele:
\[f(x)=\sin(10x),\quad u(v)=\sin(v),\quad v(x)=10x\] \[f(x)=\sqrt{2x},\quad u(v)=\sqrt(v),\quad v(x)=2x\] \[f(x)=2^{2x},\quad u(v)=2^v,\quad v(x)=2x\] \[f(x)=\sin(\cos(x)),\quad u(v)=\sin(v),\quad v(x)=\cos(x)\] Natürlich können Verkettungen auch noch weiter verschachtelt werden.

5. Gib von folgenden Funktionen die innere und die äußere Funktion an:
   1. \(f(x)=2\sin(2\cos(x))\)
   2. \(f(x)=2^{3x^2}\)
   3. \(f(x)=(2^x)^2\)
   4. \(f(x)=\sqrt{2x^2-1}\)
6. Hinführung zur Kettenregel auf zwei Wegen
   Variante 1:
   Die folgende Tabelle zeigt einige verkettete Funktionen und ihre korrekten Ableitungen. Finde ein Schema. Wie setzt sich die Ableitung aus den Ableitungen der inneren und äußeren Funktion zusammen? \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline f(x) & u(v) & v(x) & u'(v) & v'(x) & f'(x)\\ \hline \hline \sin(10x)& & & & & 10\cdot \cos(10x)\\ \hline (2x+1)^2& & & & & 4(2x+1)\\ \hline \sqrt{2x^2-1}& & & & & 4x\cdot\frac{1}{2}(2x^2-1)^{-\frac{1}{2}}\\ \hline 2\sin(2\cos(x))& & & & & -2\sin(x)\cdot 2\cos(2\cos(x))\\ \hline 2^{3x^2}& & & & & 6x\cdot\ln(2) 2^{3x^2}\\ \hline (2^x)^2& & & & & \ln(2)2^x\cdot 2 \cdot 2^x\\ \hline \end{array} \] Variante 2:
   Die Abbildungen zeigen den Differenzenquotienten von innerer, äußererer und verketteter Funktion.
   
   1. Stelle den Ausdruck für den Differenzenquotienten für alle drei Funktionen auf.
   2. Formuliere den Differenzenquotienten der verketteten Funktion mithilfe der Differenzenquotienten von innerer und äußerer Funktionen indem du den Quotienten der verketteten Funktion mit \[\frac{v(x_0)-v(x)}{v(x_0)-v(x)}\] erweiterst.
   3. Für den Grenzwert vom Produkt zweier Funktionen gilt: \[\lim_{x_0\mapsto x}f(x,x_0)g(x,x_0)=\lim_{x_0\mapsto x}f(x,x_0)\lim_{x_0\mapsto x}g(x,x_0)\] Zeige damit, dass gilt: \[f'(x)=v'(x)u'(v(x))\]
Kettenregel

Zum Ableiten von Verketteten Funktionen der Form \[f(x)=u(v(x))\] muss man die Kettenregel verwenden: \[f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))\] Dafür kann man sich folgendes Merken: "Innere Ableitung mal äußere Ableitung."
Leider ist hier die Notation wieder etwas irreführend weshalb es empfehlenswert ist die sogenannte Leibniz-Notation zu verwenden: \[f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\frac{dv(x)}{dx}\cdot\frac{du(v)}{dv}\bigg\rvert_{v=v(x)}\] Beispiele:
\[\begin{eqnarray} f(x) & = & \sin(10x)\\ u(v) &=& \sin(v), \quad u'(v) = \cos(v), \quad u'(v(x)) = \cos(10x)\\ v(x) &=& 10x, \quad v'(x)= 10\\ f'(x) & = & v'(x) \cdot u'(v(x)) = 10\cdot \cos(10x) \\ \\ f(x) & = & (2x^2-1)^{-2}\\ u(v) &=& v^{-2}, \quad u'(v) = (-2)v^{-3}, \quad u'(v(x)) = (-2)(2x^2-1)^{-3}\\ v(x) &=& 2x^2-1,\quad v'(x) = 4x\\ f'(x) & = & v'(x) \cdot u'(v(x)) = 4x\cdot (-2)(2x^2-1)^{-3} \end{eqnarray}\]

Herleitung Kettenregel

Gegeben sei eine Funktion \[f(x)=u(v(x))\] Für die Ableitung von \(f'(x)\) gilt mit dem Differenzenquotienten: \[\begin{eqnarray} f'(x)&=&\lim_{x_0\mapsto x}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=&\lim_{x_0\mapsto x}\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{x-x_0}\\ &=&\lim_{x_0\mapsto x}\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{x-x_0}\cdot \frac{v(x)-v(x_0)}{v(x)-v(x_0)}\\ &=&\lim_{x_0\mapsto x}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\cdot\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\\ \end{eqnarray}\] Unter der Vorraussetzung, dass für den Grenzwert vom Produkt zweier Funktionen gilt \[\lim_{x_0\mapsto x}f(x,x_0)g(x,x_0)=\lim_{x_0\mapsto x}f(x,x_0)\lim_{x_0\mapsto x}g(x,x_0),\] folgt: \[\begin{eqnarray} f'(x)&=&\lim_{x_0\mapsto x}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\cdot\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\\ &=&\lim_{x_0\mapsto x}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} \cdot\lim_{x_0\mapsto x}\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\\ &=& v'(x)\cdot u'(v(x)) \end{eqnarray}\] Voraussetzung dafür ist zudem, dass beide Funktionen im vorgegebenen Bereich differenzierbar sind.

Aufgaben

1. Bestimme die Ableitungen. Gib dafür die innere und äußere Funktion sowie deren Ableitungen an.
   1. \(f(x)=\sqrt{2x^2+x}\)
   2. \(f(x)=5\sin(x^2)\)
   3. \(f(x)=\sin(2x)\)
   4. \(f(x)=\sin^2(2x)\)
2. Bilde die Verkettungen \(u(v(x))\) und \(v(u(x))\) anschließend deren Ableitungen.\[\begin{eqnarray} && v:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \quad&& u:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}\\ && v:x \mapsto 2x^2-3 \quad && u:x\mapsto \sqrt{x} \end{eqnarray}\] Gib anschließend den Definitionsbereich beider Funktionen an.
3. Wird ein Ton an einem Lautsprecher erzeugt, so wird dessen Membran zum Schwingen gebracht. Die Schwingung wird durch eine periodische auf und ab Bewegung beschrieben. Erhöht man den Ton mit der Zeit kontinuierlich, so schwingt die Membran immer schneller. Solch eine Tonerhöhung kann durch folgende Funktion beschrieben werden: \[f(x)=\sin(280x^2+2700x)\] Dies entspricht einer Tonerhöhung um einem Ganzton pro Sekunde, beginnend von a'.
   Die Ableitung der Funktion gibt an, wie schnell sich die Membran zu einem Zeitpunkt \(x\) bewegt.
   1. Bestimme die Ableitung von \(f(x)\).
   2. Bestimme die Geschwindigkeit der Membran nach 5 s.
   3. Besonders schwer: Wann war die Membran am langsamsten?
4. 
   Die Position von Merkur im Sonnensystem kann mithilfe von \(x\)- und \(y\)-Koordinaten wie folgt beschrieben werden: \[\begin{eqnarray} x(t)&=& 0.39\cos(0.07\cdot t)\\ y(t)&=& 0.37 \sin(0.07\cdot t) \end{eqnarray} \] Wobei \(t\) die Zeit in Tagen ist.
   1. Bestimme die Ableitung von \(x\)- und \(y\)-Koordinate.
   2. Für die Geschwindigkeit des Planeten auf der Bahnkurve gilt: \[v(t)=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\] Gib des Ausdruck für die Geschwindigkeit an. Berechne anschließend die Geschwindigkeit nach 0 Tagen und nach 20 Tagen. Die Koordinaten \(x\) und \(y\) sind dabei in AE angegeben. \(1AE = 1.5\cdot 10^8 km\)
   3. Zeige, dass \[v(t)\neq r'(t)\] mit \[r(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}\] ist.
5. An Herrn Köhlers Haus soll eine Bahnstrecke vorbei gebaut werden. Dabei sollen die bereits bestehenden Abschnitte knickfrei miteinander verbunden werden (siehe Abb.).
   
   1. Bestimme eine ganzrationale Funktion, welche die Abschnitte miteinander verbindet.
   2. Das Baurecht besagt, dass der Abstand zwischen Häusern und Zugstrecken mindestens 300 m betragen muss. Überprüfe ob die in 1. bestimmte Funktion diese Bedingung erfüllt.
      Hinweis: Für den Abstand \(r(x,y)\) eines Punktes \(P(x|y)\) zum Koordinatenursprung gilt (Satz des Pythagoras): \[r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\]