MATHE → Klasse 11 & 12 → Gauß-Algorithmus

Einstieg

1. Ein Hotel besitzt insgesamt 14 Zimmer (Zweibett- und Dreibettzimmer). Das Personal des Hotels hat Kapazitäten für 37 Personen. Gib die Zusammensetzung von Zweibett- und Dreibettzimmern an. Wie lässt sich die Aufgabe graphisch lösen?
2. Erkläre graphisch, warum es sinnvoll ist, dass für zwei Bedingungen auch zwei Variablen benötigt werden.
3. Löse folgende Gleichungssysteme mithilfe des Subsitutionsverfahrens (Einsetzungsverfahren): \[I.\quad 2a+4b=7\] \[II.\quad 5a-10b=\frac{35}{2}\] und \[I.\quad 2x+8z-12=y+x\] \[II.\quad 4x=y+2\] \[III.\quad 6z-y-x=4\]
4. Folgendes Gleichungssystem sei gegeben: \[I.\quad 8a+9b=-94\] \[II.\quad -4a-3b=38\] Warum darf in Gleichung 2 Folgendes ergänzt werden: \[II.\quad -4a-3b\textcolor{red}{+8a+9b}=38\textcolor{red}{+(-94)}\] bzw. \[II.\quad -4a-3b\textcolor{red}{+4a+4.5b}=38\textcolor{red}{+(-47)}\] Dieses Verfahren nennt man Additionsverfahren.
Stufenform

Bei der Stufenform eines linearen Gleichungssystems handelt es sich um eine Darstellung des Systems, bei der mit jeder weiteren Gleichung eine weitere Variable bereits eleminiert wurde. Dafür muss ein Gleichungssystem zunächst geordnet werden:



Nach dem Ordnen kann dann die Stufenform bestimmt werden:



5. Aus der vorherigen Aufgabe folgt ein Gleichungssystem in Stufenform: \[I.\quad 8a+9b=-94\] \[II.\quad 0+1.5b=-9\] Löse das Gleichungssystem. Warum ist es besonders einfach zu lösen?
6. Das erste Gleichungsystem aus Einstiegsaufgabe 2 kann auch auf eine Stufenform gebracht werden und anschließend duch das Subsitutionsverfahren.
   
   Vollziehe die Rechnung und insbesondere die Schreibweise nach.
7. Die in der vorherigen Aufgabe vorgestellte Methode nennt sich Gauß-Algorithmus. Er ist besonders effizient bei größeren linearen Gleichungssystemen. Bei dieser Methode muss nicht wirklich "nachgedacht" werden.
   Hier wird das Verfahren für das folgende Gleichungssystem nochmal vorgestellt: \[I.\quad 1a+3b+1c=2\] \[II.\quad -2a-4b+2c=6\] \[III.\quad 3a+1b+1c=8\]
   
   Die Lösungsmenge lautet damit: \[\mathcal{L}=\lbrace a=2, b=-1, c=3\rbrace\]
   1. Beschreibe wie man die dritte Gleichung in die Stufenform bringt.
   2. Übertrage das Verfahren auf folgendes Gleichungssystem:
   \[I.\quad 1a+2b+6c=9\] \[II.\quad 1a+1b+4c=5\] \[III.\quad 2a+3b+13c=23\]
Matrix-Darstellung

Analog kann der Gaussalgorithmus auch in der MAtrix-Darstellung ausgeführt werden. Auf diese Weise spart man sich Schreibarbeit.
Dabei werden alle Rechenzeichen weggelassen und nur die Vorfaktoren der gesuchten Variablen aufgeschrieben. Achte dabei auf die Minuszeichen! Treten Variablen in einer Gleichung nicht auf, so ist der Vorfaktor 0 Das Gleichheitszeichen wird durch einen senkrechten Strich angedeutet.



Das Ergebnis lässt sich insbesondere daran erkennen, dass die Teilmatrix (Matrix ohne Gleichheitszeichen) auf ihrer Diagonalen nur Einsen besitzt und alle anderen Einträge Null sind.

Wissen

Beim Gauß-Algorithmus handelt es sich um eine ressourcenschonende Methode zum lösen beliebig großer linearer Gleichungssysteme. Ziel ist es das Gleichungssystem mithilfe des Additionsverfahrens (2. - 4.) auf eine Stufenform zu bringen, sodass dieses anschließend durch das Substitutionsverfahren (5. & 6.) vollständig gelöst werden kann.


1. Im ersten Schritt muss das LGS geordnet werden.
2. Anschließend wird die erste Gleichung mit einem Faktor so multipliziert, dass beim Addieren auf die zweite Gleichung die erste Variable eleminiert wird. Das Gleichungssystem wird dann erneut aufgeschrieben mit der veränderten zweiten Gleichung.
   
3. Der Vorgang wird wiederholt, jedoch wird diesmal mithilfe der ersten Gleichung die erste Variable in der dritten Gleichung eleminiert.
   
4. Um in der dritten Gleichung die zweite Varibale zu eleminieren, können wir nun nur die zweite Gleichung verwenden, da ansonten wieder die erste Variable hinzugefügt wird.
   
   Hier haben wir die Stufenform erreicht.
5. Sobald wir die Stufenform erreicht haben, können wir die letzte Gleichung nach der letzten Varibale umstellen.
   
6. Nun kann via Substitution die zweite Variable aus der zweiten Gleichung bestimmt werden und anschließend aus der ersten Gleichung die erste Variable.
   

Aufgaben

1. Gesucht sei eine Funktion \(f(x)\), welche knickfrei an der Stelle \(x=2\) an die Funktion \(g(x)=2x\) und an der Stelle \(x=3\) an die Funktion \(h(x)=3x\) anschließt (mit Knick).
   1. Stelle alle Bedinungen für die Funktion auf.
   2. Stelle einen geeigneten Ansatz für eine ganzrationale Funktion auf und setze die Bedingungen ein, sodass du ein lineares Gleichungssystem erhältst.
   3. Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Substitutionsverfahrens.
   4. Stelle die Lösung grafisch dar.